Masar
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Bac Tunisie
Atelier/Scénarios/Mathématiques
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méthode par scénarios · Mathématiques

Les 89 scénarios de l’épreuve de maths

Chaque exercice du bac déroule une trajectoire logique récurrente. Reconnaître le scénario dès la première question, c'est savoir résoudre : idée directrice, exercice modèle corrigé, automatismes et pièges pour chacun.

MathématiquesSciences physiquesChimieSciences de la vie et de la terreInformatiqueFrançaisAnglaisPhilosophieArabeGénie mécaniqueGénie électriqueHistoire-GéographiePensée islamiqueÉconomieGestionSpécialité sportive
chapitres
17
scénarios
89
épreuves vérifiées
5
SU

Suites réelles

5 scénarios
SU-ASuite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) et l'IAF
Le c\oe ur « créatif » du problème. Une suite est définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) et l'on veut sa limite. Trois temps : (1) montrer qu'un intervalle II contenant le point fixe α\alpha est stable (f(I)⊂If(I)\subset I) ; (2)…
Signature : « Soit (un)(u_n) définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) » ; « montrer que ∣un+1−α∣≤k∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\leq k|u_n-\alpha| ».
SU-BSuites arithmétiques et géométriques — somme des termes
L'énoncé donne une suite arithmétique ou géométrique (parfois les deux en jeu dans le même problème) et demande une somme de termes consécutifs. Le réflexe est d'identifier u0u_0 (ou u1u_1) et la raison rr (ou qq), pu…
Signature : « Le salaire est augmenté chaque année d'un montant fixe » ; « Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de … » ; « Calculer la somme des termes de u1u_1 à unu_n ».
SU-CConvergence, limites et théorèmes de comparaison / gendarmes
L'enjeu est de prouver la convergence d'une suite en la comparant ou en l'encadrant par des suites dont la limite est connue. Deux outils phares : le théorème des gendarmes (an≤un≤bna_n\leq u_n\leq b_n avec an→ℓa_n\to\ell e…
Signature : « Montrer que la suite (un)(u_n) est croissante et majorée » ; « En déduire la limite de (un)(u_n) » ; « Encadrer unu_n puis appliquer le théorème des gendarmes ».
SU-DSuite récurrente Un+1 = Un/2 − 1 et suite arithmétique associée
Pour Un+1=12Un−1U_{n+1}=\dfrac12 U_n-1, on montre Un>−2U_n>-2, la suite est décroissante et minorée, donc convergente, et la limite vérifie l=12l−1l=\frac12 l-1. Le changement Vn=ln⁡(Un+2)V_n=\ln(U_n+2) produit une **suite arithmé…
Signature : « suite (Un) est décroissante »
SU-ESuite récurrente un+1 = 1/un + un/2 — monotonie et convergence
Pour un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) avec f(x)=1x+x2f(x)=\dfrac1x+\dfrac x2 et u0=2u_0=2, on prouve par récurrence un≥2u_n\ge 2, puis que la suite est décroissante et minorée, donc convergente ; la limite vérifie f(l)=lf(l)=l.
Signature : « suite (un) est décroissante »
LC

Limites et continuité

5 scénarios
LC-BCalcul de limites et formes indéterminées
L'exercice présente des limites avec formes indéterminées (∞−∞\infty-\infty, 0×∞0\times\infty, 00\frac{0}{0}, ∞∞\frac{\infty}{\infty}). La stratégie est de lever la FI par l'une des techniques canoniques : **factorisation…
Signature : « Calculer lim⁡x→+∞(⋯−x)\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{\cdots}-x) » ; « Lever la forme indéterminée » ; « Calculer les limites suivantes en précisant les formes indéterminées ».
LC-ALimites, asymptotes et variations — fonction 1/ln⁡x1/\ln x
Forme attestée en 2022 session principale, exercice 4 (mode `fonction_1_sur_ln`) : une seule fonction f=1/ln⁡xf=1/\ln x sur ]1,+∞[]1,+\infty[, enchaînement limites → interprétation asymptotique → dérivée → tableau de variatio…
Signature : « Soit ff définie sur ]1,+∞[]1,+\infty[ par f(x)=1/ln⁡xf(x)=1/\ln x »
LC-CAsymptotes, continuité et variations — f(x)=ex/xf(x)=\mathrm{e}^{x}/x
Forme attestée en 2016 session principale, exercice 4 (modes `asymptotes_variations_reciproque` / `limites_et_famille_de_courbes`) : limites aux bornes, lecture d'asymptotes, tableau de variation, puis restrictions …
Signature : « Calculer lim⁡f(x)\lim f(x). Interpréter graphiquement »
LC-DAsymptote verticale et asymptote oblique
On lit une asymptote verticale quand lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty, et une asymptote oblique y=ax+by=ax+b au voisinage de +∞+\infty quand lim⁡(f(x)−(ax+b))=0\lim(f(x)-(ax+b))=0.
Signature : « asymptote verticale »
LC-EAsymptotes horizontale et verticale — lecture de limites
Une limite finie en ±∞\pm\infty donne une asymptote horizontale y=ℓy=\ell ; une limite infinie en x=ax=a donne une asymptote verticale x=ax=a.
Signature : « droite y = 2 est une asymptote »
DR

Dérivabilité

5 scénarios
DR-ADérivabilité en un point, nombre dérivé et tangente
Le scénario type consiste à étudier la dérivabilité de ff en un point aa en calculant les taux d'accroissement à gauche et à droite : τg=lim⁡h→0−f(a+h)−f(a)h\tau_g = \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} et $\tau_d = \lim_{h\to0^+}\dfrac{f…
Signature : « Étudier la dérivabilité de ff en x0=…x_0 = \ldots » ; « calculer lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} » ; « la courbe admet-elle une tangente en ce point ? »
DR-DÉtude des variations, extrema et optimisation
Le bac demande quasi systématiquement un tableau de variations complet : signe de f′f', sens de variation, valeurs aux bornes et aux extrema locaux. L'optimisation ajoute une contrainte (géométrique, économique, phy…
Signature : « Dresser le tableau de variations de ff » ; « déterminer les extrema de ff sur [a,b][a,b] » ; « quelle valeur de xx maximise le volume ? » ; « exprimer V(x)V(x) en fonction de xx puis étudier ses variations »
DR-BDérivée, variations et extrema — f=g−g2f=g-g^2 avec g(x)=xexg(x)=x\mathrm{e}^{x}
Forme attestée en 2021 session contrôle, exercice 4 (mode `fonction_xe_x`) : on part de g(x)=xexg(x)=x e^{x}, on construit f=g−g2f=g-g^2, on dérive, on dresse le tableau de variation, on lit les extrema, puis une aire via une…
Signature : « f(x)=g(x)−(g(x))2f(x)=g(x)-(g(x))^2 avec g(x)=xexg(x)=xe^{x} »
DR-CDérivée, réciproque et aire — f(x)=1−e−xf(x)=\sqrt{1-e^{-x}}
Forme attestée en 2019 session principale, exercice 4 (mode `continuité_bijection_aire` / `derivee_variations_reciproque`) : une fonction croissante, sa réciproque explicite, dérivabilité de la réciproque, puis …
Signature : « f(x)=1−e−xf(x)=\sqrt{1-e^{-x}} ; montrer que ff admet une réciproque gg »
DR-EDérivée de f = ln(e^x − 1) et comparaison à g
Pour f=ln⁡∘uf=\ln\circ u avec u(x)=ex−1u(x)=e^x-1, calculer f′=u′/uf'=u'/u, relier à g=ex/(ex−1)g=e^x/(e^x-1), étudier h=f−gh=f-g via h′h', et l'asymptote oblique y=xy=x.
Signature : « f est dérivable … f' = g »
FR

Fonctions réciproques

4 scénarios
FR-ABijection et fonction réciproque
Dès qu'une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle, elle réalise une bijection de cet intervalle sur son image. La réciproque f−1f^{-1} hérite de la monotonie, sa courbe est la symétrique de $\m…
Signature : « Montrer que ff réalise une bijection de II sur JJ » ; « calculer (f−1)′(y0)(f^{-1})'(y_0) » ; « tracer Cf\mathcal{C}_f et Cf−1\mathcal{C}_{f^{-1}} ».
FR-BFonction réciproque : existence, expression, courbes symétriques
Une fonction bijective f:I→Jf:I\to J admet une réciproque f−1:J→If^{-1}:J\to I vérifiant f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x et f(f−1(y))=yf(f^{-1}(y))=y. Les graphes de ff et f−1f^{-1} sont symétriques par rapport à la droite y=xy=x. L'expression …
Signature : « Montrer que ff admet une réciproque f−1f^{-1} et déterminer son expression » ; « Les courbes de ff et f−1f^{-1} sont-elles symétriques ? Par rapport à quelle droite ? » ; « Résoudre y=f(x)y=f(x) en xx ».
FR-CDérivée de la réciproque et application
Si ff est dérivable et bijective avec f′(x)≠0f'(x)\neq0, sa réciproque f−1f^{-1} est dérivable et sa dérivée est donnée par (f−1)′(y)=1f′(f−1(y))(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}, ou encore (f−1)′(x)=1f′(f−1(x))(f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}. Cette fo…
Signature : « Calculer (f−1)′(y0)(f^{-1})'(y_0) en utilisant la dérivée de la réciproque » ; « En déduire l'équation de la tangente à la courbe de f−1f^{-1} » ; « Sachant que f(a)=bf(a)=b, calculer (f−1)′(b)(f^{-1})'(b) ».
FR-DBijection et fonction réciproque g = f⁻¹
Montrer qu'une fonction f:I→Jf:I\to J est une bijection (continue, strictement monotone), introduire la fonction réciproque g=f−1g=f^{-1}, en donner une expression, et étudier g′g' ou g(x)=xg(x)=x.
Signature : « f réalise une bijection »
LN

Fonctions logarithmes

5 scénarios
LN-AÉtude complète d'une fonction (ln, exp, composée)
C'est l'Acte I, le socle : tout le reste du problème s'appuie sur le tableau de variations obtenu ici. On procède toujours dans le même ordre, sans en sauter une étape, car chaque étape sert de brique à une question ult…
Signature : « Dresser le tableau de variations » ; « étudier les branches infinies » ; « en déduire que f(x)≥…f(x)\geq\ldots ».
LN-BPropriétés du ln, équations et inéquations logarithmiques
L'exercice mobilise les propriétés algébriques de ln⁡\ln : ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b, ln⁡(a/b)=ln⁡a−ln⁡b\ln(a/b)=\ln a-\ln b, ln⁡(aα)=αln⁡a\ln(a^\alpha)=\alpha\ln a, ainsi que la stricte croissance de ln⁡\ln sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Résoudre une équation rev…
Signature : « Résoudre dans R\R : ln⁡(⋯ )+ln⁡(⋯ )=ln⁡(⋯ )\ln(\cdots)+\ln(\cdots)=\ln(\cdots) » ; « En posant t=ln⁡xt=\ln x, résoudre l'inéquation » ; « Résoudre l'équation e2x−⋯ex+⋯=0e^{2x}-\cdots e^x+\cdots=0 ».
LN-CÉtude d'une fonction avec ln : variations, limites, tracé
L'exercice demande l'étude complète d'une fonction de la forme f(x)=P(x)ln⁡(Q(x))f(x)=P(x)\ln(Q(x)) ou f(x)=(ax+b)ln⁡(cx+d)f(x)=(ax+b)\ln(cx+d). Le protocole est : domaine de définition (positiver l'argument du ln⁡\ln), limites aux bornes du domaine (cro…
Signature : « Étudier les variations de f(x)=(⋯ )ln⁡xf(x)=(\cdots)\ln x » ; « Montrer que f(x)≥0f(x)\geq0 pour tout x>0x>0 » ; « Dresser le tableau de variations et préciser le minimum ».
LN-DLimites et croissances comparées, lim⁡xln⁡x\lim x\ln x, primitives avec ln⁡\ln
Les croissances comparées expriment que ln⁡\ln croît plus lentement que toute puissance : lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}=0 pour α>0\alpha>0, et lim⁡x→0+xαln⁡x=0\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0 pour α>0\alpha>0 (le terme po…
Signature : « En utilisant les croissances comparées, calculer lim⁡x→+∞(ln⁡x)nxα\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^n}{x^\alpha} » ; « Calculer ∫1exln⁡x dx\int_1^e x\ln x\,dx par intégration par parties » ; « Montrer que lim⁡x→0+x2ln⁡x=0\lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0 ».
LN-EÉtude de f(x)=x+(1−2x)lnxf(x) = x + (1 - 2x) ln x
Étudier f(x)=x+(1−2x)ln⁡xf(x)=x+(1-2x)\ln x sur ]0,+∞[]0,+\infty[ : limites, signe de f′f', variations, puis primitive candidate FF telle que F′=fF'=f.
Signature : « f(x)=x+(1−2x)lnx»f(x) = x + (1 - 2x) ln x »
EX

Fonctions exponentielles et puissances

4 scénarios
EX-AFonction exponentielle : propriétés, équations et inéquations
La fonction exp⁡\exp est la seule fonction dérivable sur R\R vérifiant f′=ff'=f et f(0)=1f(0)=1. De là découlent toutes ses propriétés : stricte croissance, ea+b=eaebe^{a+b}=e^a e^b, ea=eb⇔a=be^a=e^b\Leftrightarrow a=b, ea>0e^a>0 partout.…
Signature : « Résoudre e2x−3ex+2=0e^{2x}-3e^x+2=0 » ; « résoudre dans R\R l'inéquation e…≤e…e^{\ldots}\leq e^{\ldots} » ; « montrer que l'équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution »
EX-BFonction f(x)=(1+x2)e−xf(x)=(1+x^2)\mathrm{e}^{-x} : variations, primitive et aire
Forme attestée en Bac SE, session principale 2017, exercice 3 : fonction en exponentielle f(x)=(1+x2)e−xf(x)=(1+x^2)e^{-x}, limites, dérivée, tableau de variation, points d'inflexion, primitive, aire, valeur moyenne.
Signature : « f(x)=(1+x2)e−xf(x)=(1+x^2)e^{-x} »
EX-CFonction f(x)=(x+1)2−xexf(x)=(x+1)^2-x\mathrm{e}^{x} : variations et aire
Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2018, exercice 3 : fonction en exponentielle f(x)=(x+1)2−xexf(x)=(x+1)^2-x e^{x}, branches infinies, dérivée factorisée (x+1)(2−ex)(x+1)(2-e^{x}), tableau de variation, comparaison avec $…
Signature : « f(x)=(x+1)2−xexf(x)=(x+1)^2-x e^{x} »
EX-DÉquations et inéquations avec ex\mathrm{e}^{x} ; comparaison exe^{x} et x+1x+1
Scénario d'entraînement ancré sur le corrigé SE contrôle 2018 (vocabulaire exponentiel, ln⁡2\ln 2, comparaison exe^{x} et droite) : résoudre des équations/inéquations en exe^{x}, et redémontrer ex≥x+1e^{x}\ge x+1 utilisé …
Signature : « e2x−3ex+2=0e^{2x}-3e^{x}+2=0 »
IN

Primitivisation et calcul intégral

6 scénarios
IN-BAires et sommes de Riemann
Acte III, la mesure. Une aire entre deux courbes est une intégrale de leur différence ; on la calcule en fonction d'un paramètre λ\lambda puis on passe à la limite. Autre visage du même chapitre : une somme $\frac1n\su…
Signature : « Calculer l'aire A(λ)A(\lambda) » ; « déterminer lim⁡A(λ)\lim A(\lambda) » ; « reconnaître une somme de Riemann ».
IN-ASuite d'intégrales, primitive et aire — f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x
Forme attestée en 2018 session principale, exercice 3 (mode `limites_variations_integrales`) : après une étude de f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x, le cœur du barème bascule sur une suite d'intégrales unu_n, majorations, **intégra…
Signature : « un=∫1/e1tnet dtu_n=\int_{1/e}^{1} t^n e^{t}\,dt »
IN-CSuite d'intégrales In=∫01xnln⁡(x+1) dxI_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx — primitive et aire
Forme attestée en Bac Sciences expérimentales, session de contrôle 2019 : suite d'intégrales In=∫01xnln⁡(x+1) dxI_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx, primitive de x↦ln⁡(x+1)x\mapsto\ln(x+1), intégration par parties, I2I_2 lue comme **ai…
Signature : « In=∫01xnln⁡(x+1) dxI_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx »
IN-DPrimitive de ln⁡2x\ln^2 x, ∫xln⁡x\int x\ln x et calcul d'aire
Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2022 : primitive de ln⁡2x\ln^2 x, intégration par parties pour ∫1exln⁡x dx\int_1^e x\ln x\,dx, puis aire de f(x)=xln⁡x−2ln⁡2xf(x)=x\ln x-2\ln^2 x entre 11 et ee.
Signature : « Primitive de ln⁡2x\ln^2 x »
IN-EIntégrales I=∫0π/2cos⁡4x dxI=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx et J=∫0π/2sin⁡4x dxJ=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx
Forme tirée d'un devoir de contrôle n°3 Sciences expérimentales (Lycée Tahar Sfar, Mahdia, 2018) : couple d'intégrales II et JJ de cos⁡4\cos^4 et sin⁡4\sin^4, intégration par parties, calcul via I+JI+J et I−JI-J.
Signature : « I=∫0π/2cos⁡4x dxI=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx, J=∫0π/2sin⁡4x dxJ=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx »
IN-FSuite d'intégrales In=∫01xn(1+x)3 dxI_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx et aire
Forme tirée d'un devoir de contrôle n°2 Sciences expérimentales (Lycée Ibn Elhaythem Matmata, 2024) : suite d'intégrales In=∫01xn(1+x)3 dxI_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx, majoration, limite, puis aire entre deux courb…
Signature : « In=∫01xn/(1+x)3 dxI_n=\int_0^1 x^n/(1+x)^3\,dx »
ED

Équations différentielles

6 scénarios
ED-AÉquations y′=ayy'=ay et y′=ay+by'=ay+b : résolution et condition initiale
Le fil conducteur : toute équation du premier ordre linéaire à coefficients constants se ramène à y′=ayy'=ay (homogène) ou y′=ay+by'=ay+b (avec second membre constant). La solution générale de y′=ayy'=ay est y=C eaxy=C\,\e^{ax}, cell…
Signature : « Résoudre l'équation différentielle y′−ky=0y'-ky=0 » ; « Déterminer la solution vérifiant y(0)=y0y(0)=y_0 » ; « Étudier le comportement de la solution en +∞+\infty ».
ED-BOscillateur harmonique : équation y′′+ω2y=0y''+\omega^2 y=0
Le problème s'identifie par la présence de y′′y'' et d'un terme +ω2y+\omega^2 y sans amortissement. La solution générale est y(t)=Acos⁡(ωt)+Bsin⁡(ωt)y(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t), ou de façon équivalente y(t)=Rcos⁡(ωt+φ)y(t)=R\cos(\omega t+\varphi). L…
Signature : « Montrer que θ(t)\theta(t) vérifie θ′′+ω02θ=0\theta''+\omega_0^2\theta=0 » ; « Donner la solution générale en fonction de AA et BB » ; « Déterminer la période propre T0T_0 ».
ED-CModélisation par une équation différentielle : refroidissement, désintégration, charge
Le problème modélise un phénomène physique (refroidissement de Newton, désintégration radioactive, charge/décharge d'un condensateur) par une équation y′=ay+by'=ay+b ou y′=ayy'=ay. La démarche est toujours : (1) établir l'équat…
Signature : « Montrer que T(t)T(t) vérifie T′=−k(T−Ta)T'=-k(T-T_a) » ; « Exprimer T(t)T(t) en fonction de kk » ; « Déterminer la constante de temps τ\tau » ; « À quelle date la température atteint-elle T∗T^* ? ».
ED-DModélisation par y′=ay+by'=ay+b : croissance d'une plante et condition initiale
Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2017, exercice 4 : lecture de f(0)f(0) et f′(0)f'(0), équation différentielle y′=ay+by'=ay+b, détermination de aa et bb, solution générale, condition initiale, modél…
Signature : « y′=ay+by'=ay+b »
ED-EÉquation y′=−14y+12y'=-\frac14 y+\frac12 : solution générale et applications numériques
Deuxième scénario ancré sur le même corrigé SE contrôle 2017 mais centré sur la résolution explicite de y′=−14y+12y'=-\frac14 y+\frac12, la solution générale, la condition initiale, et les questions d'application $h…
Signature : « y′=−14y+12y'=-\frac14 y+\frac12 »
ED-FDe l'équation différentielle y′=ay+by'=ay+b à l'expression de ff via f′f'
Troisième angle du corrigé SE contrôle 2017 : partir de l'équation différentielle y′=ay+by'=ay+b et de la condition f(0)=0f(0)=0, f′(0)=12f'(0)=\frac12, pour exprimer ff en fonction de f′f', déterminer aa, puis écrire ex…
Signature : « y′=ay+by'=ay+b »
C

Nombres complexes

5 scénarios
C-CLe quotient géomètre zC−zAzB−zA\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}
Tout le chapitre tient dans une formule : zC−zAzB−zA\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} a pour module ACAB\dfrac{AC}{AB} et pour argument l'angle (AB⃗,AC⃗^)\big(\widehat{\vec{AB},\vec{AC}}\big). Réel ⇒\Rightarrow alignement ; imaginaire pur $\Righ…
Signature : « On pose Z=z−az−bZ=\dfrac{z-a}{z-b} » ; « montrer que ZZ est réel / imaginaire pur » ; « en déduire la nature du triangle ».
C-AÉquation dans C\mathbb{C}, module, argument et ensembles de points
Forme attestée en 2018 session contrôle, exercice 4 (mode `equation_complexe`) : résoudre (E)(E) dans C\mathbb{C}, puis interpréter un quotient d'affixes via module et argument (ensembles de points). Pas une rec…
Signature : « Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation (E):z2−(1+i)z−i=0(E): z^2-(1+i)z-i=0 »
C-BÉquation z2+z+1/3=0z^2+z+1/3=0, forme exponentielle et condition réelle
Forme attestée en 2021 session contrôle, exercice 3 (mode `equation_complexe`) : résolution dans C\mathbb{C}, forme exponentielle, puis manipulations d'affixes (zD=z13z_D=z_1^3, quotient) et condition de type «…
Signature : « Résoudre dans C\mathbb{C} : z2+z+1/3=0z^2+z+1/3=0 »
C-DÉquation du second degré dans ℂ — z² − (1+i)z + i = 0
Résoudre une équation du second degré dans C\mathbb{C} : calculer le discriminant Δ\Delta, en extraire une racine carrée complexe, puis appliquer les formules z=−b±δ2az=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}.
Signature : « z² − (1 + i)z + i = 0 »
C-EChangement de variable Z = z + 1/z pour une équation
Certaines équations en zz et 1z\dfrac1z se linéarisent par Z=z+1zZ=z+\dfrac1z (ou Z=z+z‾Z=z+\overline{z}, etc.). On résout d'abord en ZZ dans C\mathbb{C}, puis on revient à zz.
Signature : « On pose Z = z + … »
R

Arithmétique

7 scénarios
R-ADivisibilité par combinaison linéaire
La divisibilité « voyage » par combinaison : si dd divise deux entiers, il divise toute combinaison au+bvau+bv. On s'en sert pour éliminer la variable et ramener un diviseur inconnu à diviser une constante, dont on li…
Signature : « Montrer que dd divise… » ; « déterminer les entiers nn tels que u∣vu\mid v » ; « montrer que p∣a  ⟺  p∣bp\mid a \iff p\mid b ».
R-BCongruences et restes des puissances ana^n
Les puissances de aa modulo mm sont périodiques : il existe un plus petit TT tel que aT≡1 [m]a^T\equiv1\,[m]. Une fois TT trouvé, le reste de ana^n ne dépend que de n mod Tn \bmod T. Tout l'exercice consiste à débusquer cett…
Signature : « Déterminer suivant les valeurs de nn le reste de ana^n modulo mm » ; tableau de congruences.
R-DPetit théorème de Fermat
Quand un nombre premier pp et de grandes puissances apparaissent ensemble, penser Fermat : ap−1≡1 [p]a^{p-1}\equiv1\,[p] si p∤ap\nmid a. Il court-circuite la recherche de période et donne directement des restes ou des divis…
Signature : Un nombre premier pp en vedette + grandes puissances ; « en utilisant le théorème de Fermat… ».
R-ESystèmes de numération et Z/nZ\Z/n\Z (spécificité tunisienne)
Le programme de la section Math traite l'écriture d'un entier en base bb et la structure (Z/nZ,+,⋅)(\Z/n\Z,+,\cdot). L'idée récurrente : une écriture ak…a1a0‾ b=∑aibi\overline{a_k\ldots a_1a_0}^{\,b}=\sum a_i b^i transforme une question de …
Signature : « écrire NN en base bb » ; « dans Z/nZ\Z/n\Z, résoudre… » ; critère de divisibilité par les chiffres.
R-FPGCD d'une suite d'entiers
Le scénario « créatif » : une suite (un)(u_n) d'entiers est donnée, et l'on étudie pgcd⁡(un,un+1)\pgcd(u_n,u_{n+1}) ou pgcd⁡(um,un)\pgcd(u_m,u_n). La clé est presque toujours une combinaison linéaire qui fait apparaître une constante, montra…
Signature : Une suite d'entiers unu_n définie explicitement ; « montrer que unu_n et un+1u_{n+1} sont premiers entre eux » ; « déterminer pgcd⁡(um,un)\pgcd(u_m,u_n) ».
R-GPGCD et divisibilité le long d'une suite géométrique
On couple une suite géométrique d'entiers à des arguments de PGCD et de divisibilité : si dd divise deux termes liés par une relation linéaire, dd divise une constante (souvent 22 ou 2121), d'où d∈{1,2}d\in\{1,2\}…
Signature : « soit d=pgcd »
R-HCongruences et PGCD le long d'une relation 5^n − 4y = 21
Une relation du type 5n−4yn=215^n-4y_n=21 permet, par récurrence, de contrôler un PGCD : tout diviseur commun divise 2121, puis des congruences modulo 77 affinent la valeur exacte du PGCD.
Signature : « d' divise 21 »
GS

Géométrie dans l’espace

4 scénarios
GS-AProduit scalaire dans l'espace, orthogonalité et projeté orthogonal
Le produit scalaire en coordonnées dans un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)\left(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) est u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv\vec{u}\cdot\vec{v}=x_u x_v+y_u y_v+z_u z_v. Le problème exploite deux usages : (1) orthogonalité ($\vec{u}…
Signature : « Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} » ; « Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont-elles orthogonales ? » ; « Déterminer le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB) » ; « Calculer d(C,(AB))d(C,(AB)) ».
GS-BProduit vectoriel et déterminant : aires, volumes, colinéarité et coplanarité
Le produit vectoriel u⃗∧v⃗\vec{u}\wedge\vec{v} fournit un vecteur normal à u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, de norme ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥sin⁡θ\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta — ce qui donne directement l'**aire du parallélogr…
Signature : « Calculer AB→∧AC→\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} » ; « En déduire l'aire du triangle ABCABC » ; « Calculer le volume du tétraèdre ABCDABCD » ; « Les points sont-ils coplanaires ? ».
GS-CDroites et plans : représentations paramétriques, équations cartésiennes, intersections et distances
Une droite dans l'espace est décrite par un point et un vecteur directeur : représentation paramétrique (x;y;z)=(x0+ta; y0+tb; z0+tc)(x;y;z)=(x_0+ta;\,y_0+tb;\,z_0+tc). Un plan est décrit par un point et un vecteur normal $\vec{n}=(a;…
Signature : « Donner une représentation paramétrique de la droite » ; « Déterminer l'équation cartésienne du plan » ; « Étudier la position relative de Δ\Delta et P\mathcal{P} » ; « Calculer la distance de BB au plan ».
GS-DSphères : équation, plan tangent et positions relatives
Une sphère de centre Ω(a;b;c)\Omega(a;b;c) et de rayon rr a pour équation (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2. Après développement, elle s'écrit x2+y2+z2+αx+βy+γz+δ=0x^2+y^2+z^2+\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0 (identifier le centre et le rayon pa…
Signature : « Déterminer le centre et le rayon de la sphère S\mathcal{S} » ; « Étudier la position du plan P\mathcal{P} par rapport à S\mathcal{S} » ; « Déterminer l'équation du plan tangent à S\mathcal{S} au point AA » ; « Calculer le rayon du cercle d'intersection ».
S

Isométries et similitudes

7 scénarios
S-CAntidéplacements : réflexion et symétrie glissante
Un antidéplacement (isométrie indirecte, z′=azˉ+bz'=a\bar z+b avec ∣a∣=1|a|=1) est soit une réflexion (s'il a des points fixes : ils forment son axe), soit une symétrie glissante (s'il n'en a aucun). Le test décisif est do…
Signature : « Montrer que ff est un antidéplacement » ; « déterminer les points fixes » ; « en déduire la nature de ff ».
S-ESimilitude indirecte et forme réduite
La similitude indirecte (z′=azˉ+bz'=a\bar z+b, ∣a∣≠1|a|\neq1) se décompose en forme réduite : composée d'une homothétie et d'une réflexion de même centre, ou d'une similitude directe et d'une réflexion. On extrait le rapport $…
Signature : « Soit ss d'écriture z′=azˉ+bz'=a\bar z+b » avec ∣a∣≠1|a|\neq1 ; « décomposer ss ».
S-ADéplacement défini par les images de deux points
Quand un déplacement est donné par les images de deux points distincts — « il existe un unique déplacement ff tel que f(A)=A′f(A)=A' et f(B)=B′f(B)=B' » — on décide d'abord s'il s'agit d'une translation ($\overrightarrow{AA'…
Signature : « il existe un unique déplacement ff tel que f(A)=A′f(A)=A' et f(B)=B′f(B)=B' » ; « préciser la nature de ff » ; « déterminer le centre et l'angle de la rotation »
S-DComposer et conjuguer : nature de la composée
La nature d'une composée d'isométries se lit sur la parité : déplacement ∘\circ déplacement == déplacement, déplacement ∘\circ antidéplacement == antidéplacement. Deux rotations d'angles opposés se composent en …
Signature : « former f−1∘gf^{-1}\circ g » ; « deux isométries qui coïncident en deux points » ; « ff et rr sont deux rotations d'angles opposés » ; « en déduire que la composée est une translation »
S-GAntidéplacement défini géométriquement : réflexion ou symétrie glissante
Même entrée que pour un déplacement, mais en antidéplacement : « gg est l'antidéplacement tel que g(A)=A′g(A)=A' et g(B)=B′g(B)=B' ». On décide entre réflexion et symétrie glissante par le test des médiatrices : $\mathrm{m…
Signature : « gg est l'antidéplacement tel que g(A)=A′g(A)=A' et g(B)=B′g(B)=B' » ; « réflexion ou symétrie glissante » ; « l'axe est globalement invariant »
S-BSimilitude directe définie par les images de deux points
La similitude directe est presque toujours définie par des images de points (S(B)=MS(B)=M, S(C)=NS(C)=N), jamais par une écriture z′=az+bz'=az+b en entrée. On lit le rapport k=MNBCk=\dfrac{MN}{BC} et l'angle $\theta=(\overrightarrow{B…
Signature : « Soit SS la similitude directe telle que S(B)=MS(B)=M et S(C)=NS(C)=N » ; « déterminer le rapport et l'angle de SS » ; « montrer que S(Ω)=ΩS(\Omega)=\Omega » ; « ff est la composée d'une homothétie et d'un déplacement ».
S-FImages de droites et de cercles ; propriétés de la figure
Une fois la similitude (ou l'isométrie) identifiée, le bac demande l'image d'une droite, d'un cercle (centre ↦\mapsto centre, rayon ×k\times k), d'un milieu (« une similitude conserve les milieux »), puis une *pr…
Signature : « Déterminer l'image par SS de la droite (AI)(AI) » ; « une similitude conserve les milieux » ; « montrer que (HI)(HI) est tangente au cercle » ; « construire le point S(I)S(I) ».
P

Dénombrement et probabilités

6 scénarios
P-AArbre pondéré et formule des probabilités totales
On modélise une expérience à deux étapes (cause puis effet) par un arbre pondéré : les branches de premier niveau portent les probabilités des causes, celles de second niveau les probabilités conditionnelles. La pro…
Signature : « Traduire la situation par un arbre pondéré » ; « montrer que P(D)=…\mathbb{P}(D)=\ldots » (données en pourcentages).
P-BInversion de conditionnement (formule de Bayes)
La question « renverse la flèche » : on connaît PA(D)\pr_A(D) (effet sachant la cause) et l'on demande PD(A)\pr_D(A) (cause sachant l'effet). On revient à la définition PD(A)=P(A∩D)P(D)\pr_D(A)=\frac{\pr(A\cap D)}{\pr(D)}, le numérateur ét…
Signature : « Sachant que…, quelle est la probabilité que… » dans le sens inverse des données.
P-CVariable aléatoire discrète : loi, espérance, variance
On associe à l'expérience un nombre XX (un gain, un nombre de succès). On dénombre les valeurs possibles, on calcule la probabilité de chacune (la loi), puis l'espérance E(X)=∑xi P(X=xi)\esp(X)=\sum x_i\,\pr(X=x_i). Un jeu est «…
Signature : « Soit XX le gain algébrique » ; « déterminer la loi de XX » ; « le jeu est-il équitable ? ».
P-DLoi binomiale (schéma de Bernoulli répété)
Dès qu'une même épreuve à deux issues (succès/échec) est répétée nn fois de façon indépendante et identique (tirage avec remise, ou grande population), le nombre de succès XX suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,…
Signature : « On répète nn fois, de façon indépendante… » ; « au moins un » ; « déterminer le plus petit nn tel que… ».
P-ELois continues : uniforme et exponentielle
Le temps ou une mesure continue est modélisé par une variable XX à densité. Pour la loi exponentielle (durée de vie), P(X≤t)=1−e−λt\pr(X\leq t)=1-\e^{-\lambda t} ; elle est « sans vieillissement » : PX>s(X>s+t)=P(X>t)\pr_{X>s}(X>s+t)=\pr(X>t).…
Signature : « La durée de vie suit une loi exponentielle » ; « sachant que l'appareil fonctionne depuis… ».
P-FProbabilités et suites (le scénario créatif)
Une expérience se répète et l'on suit une probabilité pnp_n à l'étape nn. Un arbre reliant l'étape nn à l'étape n+1n+1 fournit une relation pn+1=a pn+bp_{n+1}=a\,p_n+b : c'est une suite arithmético-géométrique, dont on trouve…
Signature : « On note pnp_n la probabilité de… au nn-ième jour/tirage » ; « montrer que pn+1=a pn+bp_{n+1}=a\,p_n+b ».
CO

Coniques

6 scénarios
CO-AParabole comme lieu et équation réduite
Une parabole se reconnaît par une définition focale (PF = PH) ou par une équation y2=2pxy^2=2px après un bon choix de repère.
Signature : parabole
CO-BEllipse : définition bifocale et excentricité
L'ellipse est le lieu des points MM tels que MF+MF′=2aMF+MF'=2a constant, avec 2a>FF′2a>FF'.
Signature : ellipse
CO-CHyperbole et asymptotes
Pour x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1, les asymptotes sont y=±baxy=\pm\dfrac{b}{a}x.
Signature : hyperbole
CO-DParabole y² = 4x − 4 — foyer, directrice et aire
Réduire y2=4x−4y^2=4x-4 à la forme Y2=2pXY^2=2pX pour lire le paramètre pp, le foyer et la directrice de la parabole, puis calculer une aire sous la courbe.
Signature : « parabole d'équation y2=4x-4 »
CO-EEllipse 9x² + 4y² = 36 et hyperbole
Réduire l'équation d'une ellipse pour lire aa, bb, c=a2−b2c=\sqrt{a^2-b^2} et l'excentricité e=c/ae=c/a. Pour une hyperbole, préciser foyers, sommets, directrices et asymptotes.
Signature : « ellipse d'équation »
CO-FHyperbole (H) — éléments caractéristiques et aire
Identifier une hyperbole (conique), en dresser les foyers, sommets, directrices et asymptotes, puis préparer le calcul d'une intégrale d'aire sous la branche de l'hyperbole.
Signature : « hyperbole dont on précisera les foyers »
ST

Statistiques

6 scénarios
ST-ASérie statistique : moyenne, variance, écart-type
La variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne : V=x2‾−(xˉ)2V=\overline{x^2}-(\bar x)^2.
Signature : moyenne
ST-CAjustement affine par moindres carrés
La droite de régression de yy en xx a pour pente a=cov(x,y)V(x)a=\dfrac{cov(x,y)}{V(x)} et passe par le point moyen.
Signature : régression
ST-BStatistique à deux variables : corrélation, moindres carrés, prévision
Forme attestée en Bac SE, session principale 2015, exercice 3 : statistique à deux variables, coefficient de corrélation, ajustement affine par moindres carrés, estimation.
Signature : « Statistique à deux variables »
ST-DRégression affine : production laitière (corrélation, prévision, seuil)
Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2022, exercice 1 : coefficient de corrélation, droite de régression, prévision de production, résolution d'inéquation sur le modèle affine.
Signature : « Forte corrélation linéaire positive »
ST-ECorrélation et droite des moindres carrés C = bt + a
Pour une série statistique double (t,C)(t,C), on calcule le coefficient de corrélation rr, on justifie l'ajustement affine par les moindres carrés, puis on détermine la droite C=bt+aC=bt+a.
Signature : « très forte corrélation »
ST-FSérie chronologique ventes — moyenne et nuage de points
Sur une série statistique chronologique (Xi,Yi)(X_i,Y_i) (rang du mois, ventes), on utilise la moyenne des YiY_i pour retrouver une valeur manquante, on trace le nuage de points, puis on étudie la corrélation…
Signature : « moyenne des ventes »
MX

Matrices et systèmes linéaires

4 scénarios
MX-ADéterminant, inversibilité et matrice inverse via produit A×B = k I
En Eco-Gestion, l'exercice de matrices ouvre souvent par le déterminant d'une matrice 3×33\times3 : si det⁡(A)≠0\det(A)\neq0, la matrice est inversible. Le corrigé calcule ensuite un produit matriciel $A\tim…
Signature : « Calculer le déterminant de A, en déduire que A est inversible »
MX-BÉcriture matricielle d'un système économique et résolution par A^{-1}
Le second temps typique de l'épreuve Eco-Gestion relie une situation (coûts, quantités, paniers) à un système linéaire 3×33\times3, puis à son écriture matricielle AX=CA X = C. La résolution passe par la **matr…
Signature : « Donner l'écriture matricielle du système (S) »
MX-CProduit matriciel quantités × prix et lecture économique
Un autre usage Eco-Gestion du produit matriciel : une matrice QQ de quantités (usines × matières) multipliée par une matrice-colonne PP de prix unitaires donne le vecteur des coûts par usine. Le contrô…
Signature : « Calculer le produit Q×P »
MX-DMatrice A avec A² = 3A — inverse de B = I + A
Pour une matrice AA vérifiant A2=3AA^2=3A, on construit B=I+AB=I+A et on montre que BB est inversible en exhibant un produit égal à un multiple de II (souvent via 4I−A4I-A).
Signature : « A² = 3A »
GR

Théorie des graphes

4 scénarios
GR-AConnexité, degrés, chaîne et cycle eulériens
Le graphe non orienté de l'épreuve Eco-Gestion se lit d'abord par ses sommets et arêtes : ordre, degrés, connexité, puis critère d'eulérien (chaîne eulérienne ⇔\Leftrightarrow connexe et exa…
Signature : « Justifier que le graphe G est connexe »
GR-BSous-graphe complet et nombre chromatique
Le nombre chromatique γ(G)\gamma(G) est borné par l'ordre du plus grand sous-graphe complet et par 1+Δ1+\Delta (Δ\Delta = degré maximal). Une coloration explicite (souvent type Welsh-Powell) fixe ensuite l…
Signature : « nombre chromatique du graphe »
GR-CMatrice d'adjacence, chemins de longueur n et plus court chemin (Dijkstra)
Deux lectures complémentaires du graphe Eco-Gestion : (1) la matrice associée (d'adjacence) dont les puissances comptent les chaînes de longueur nn ; (2) l'algorithme de Dijkstra pour le **plus court ch…
Signature : « matrice M associée à ce graphe »
GR-DDegrés, sous-graphe complet, eulérien et chemins via M^n
Lire un graphe : degrés des sommets, sous-graphe complet (clique), chaîne eulérienne (0 ou 2 sommets de degré impair), et nombre de chemins de longueur nn via MnM^n.
Signature : « sous graphe complet d'ordre 3 »

Où ces scénarios sont tombés

uniquement des attributions vérifiées — jamais d'attribution fabriquée
Bac 2020 — session principalecontenu vérifié
Exercice 1 (géométrie)S-GS-AL'antidéplacement est défini par les images de deux points : le test des médiatrices tranche entre réflexion et symétrie glissante, la rotation apparaît comme composée.
Exercice 2 (complexes)C-CLe quotient (z_C−z_A)/(z_B−z_A) encode à lui seul distances relatives et angle.
Exercice 3 (arithmétique)R-BR-ALa périodicité des restes réduit le problème à un nombre fini de cas ; la combinaison linéaire fait circuler la divisibilité.
Exercice 4 (problème d'analyse)L'Acte I fabrique l'outil, les Actes II–III l'exploitent.
Bac 2023 — session principale (couverture partielle)contenu vérifié
Exercice 1 (complexes et géométrie)C-CRacine remarquable → factorisation → configuration de points.
Exercice 2 (isométries et similitudes)S-AS-BUnique déplacement par deux images → rotation → losange ; puis similitude directe et homothétie.
Exercice 3 (arithmétique)R-Bà confirmerCongruences / équation dans Z — scénario exact à confirmer sur le scan.
Exercice 4 partie B (intégrales et sommes)Suites d'intégrales et sommes de Riemann.
Bac 2024 — session principale (partiel)contenu vérifié
Exercice 1 (complexes et géométrie)Équation puis lecture géométrique des solutions.
Exercice 2 (isométries et similitudes)S-DS-BS-FCommutation h∘R = R∘h, similitude directe puis indirecte définies par images de points, et la configuration (triangle équilatéral, perpendicularité) déduite des composées.
Exercice 4 (arithmétique)R-Bà confirmerCongruences ou diophantienne — à confirmer sur le scan.
Sujet type 2025 (format officiel)contenu vérifié
Exercice complexesLa racine fournie ouvre l'équation ; la forme exponentielle paramètre le lieu (z−1=√2·e^{iθ}).
Exercice arithmétiqueR-AR-DMontrer 173|a ⟺ 173|b : traduire en congruences et faire circuler la divisibilité à travers un premier.
Problème d'analyseL'archétype des trois actes : étudier, utiliser, mesurer.
Bac 2026 — session principale (probable · pas de PDF local 2026)probable
Géométrie et similitudesConfiguration transformée par similitude(s) : identification et exploitation.
Équation du second degré et complexesRésolution dans C puis lecture géométrique.
Géométrie et complexesC-CConfigurations via affixes (quotients, lieux).
Suites et arithmétiqueR-FLe pont suites–arithmétique : suite d'entiers et équation diophantienne.
Étude de fonction, intégrales, suitesProblème d'analyse en trois actes.