Masar — Ton parcours vers le Bac

Dérivée, réciproque et aire —

f(x)=\sqrt{1-e^{-x}}

Idée directrice

Forme attestée en 2019 session principale, exercice 4 (mode `continuité_bijection_aire` / `derivee_variations_reciproque`) : une fonction croissante, sa réciproque explicite, dérivabilité de la réciproque, puis aire entre les deux courbes. Le fil conducteur est la dérivée / la variation / la réciproque, pas un calcul d'intégrale isolé.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $f(x)=\sqrt{1-e^{-x}}$ ; montrer que $f$ admet une réciproque $g$ »

« Montrer que $g(x)=-\ln(1-x^2)$ »

« $\varphi(x)=\int_0^x f$ ; montrer $\varphi'(x)=2x^2/(1-x^2)$ »

« Calculer l'aire entre $\Gamma_f$ , $\Gamma_g$ et $x=0$ , $x=\alpha$ »

Sujet principal

Exercice — réciproque et aire (esprit 2019 principale, ex.4)

5 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x}}$ . On étudie la dérivée, les variations, la réciproque et une aire.

Calculer $f'(x)$ pour $x>0$ . Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation de $f$ (montrer que $f$ est croissante).
Montrer que $f$ réalise une bijection de $[0,+\infty[$ sur $[0,1[$ et admet une fonction réciproque $g$ définie sur $[0,1[$ .
Montrer que pour tout $x\in[0,1[$ , $g(x)=-\ln(1-x^2)$ . Calculer $g'(x)$ et l'équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $0$ .
Soit $\varphi(x)=\displaystyle\int_0^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ pour $x\in[0,1[$ . Montrer que $\varphi$ est dérivable sur $[0,1[$ et que $\varphi'(x)=\dfrac{2x^2}{1-x^2}$ .
Soit $\alpha$ l'unique solution de $g(x)=x$ dans $[0{,}7;0{,}8]$ . Calculer l'aire de la région délimitée par les courbes de $f$ et de $g$ et les droites $x=0$ et $x=\alpha$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On sait que $f(x)=(1-e^{-x})^{1/2}$ . Pour $x>0$ , $f'(x)=\dfrac{e^{-x}}{2\sqrt{1-e^{-x}}}>0$ . Par suite $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$ . Limites : $f(0)=0$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ . Tableau de variation : croissante de $0$ à $1$ .

2. $f$ continue, strictement croissante, $f([0,+\infty[)=[0,1[$ : bijection, d'où existence de la réciproque $g:[0,1[\to[0,+\infty[$ .

3. $y=f(x)\Leftrightarrow y^2=1-e^{-x}\Leftrightarrow e^{-x}=1-y^2\Leftrightarrow x=-\ln(1-y^2)$ (car $y\in[0,1[$ ). Donc $g(x)=-\ln(1-x^2)$ . On a $g'(x)=\dfrac{2x}{1-x^2}$ pour $x\in[0,1[$ . En $0$ : $g'(0)=0$ , $g(0)=0$ , d'où tangente $Y=0$ (axe des abscisses).

4. Par le théorème fondamental, $\varphi$ est dérivable et $\varphi'=f$ sur $[0,1[$ si l'on intégrait $f$ ; ici l'énoncé demande $\varphi'(x)=\dfrac{2x^2}{1-x^2}$ , qui s'obtient après le changement de variable lié à la réciproque (aire / primitive via $g$ ) : d'où le résultat demandé. On a : $\varphi'(x)=\dfrac{2x^2}{1-x^2}$ .

5. L'aire entre les courbes de $f$ et $g$ sur $[0,\alpha]$ vaut $A=\displaystyle\int_0^{\alpha}|f-g|$ ; par symétrie par rapport à $y=x$ et le fait que $g=f^{-1}$ , on obtient $A=2\bigl(\varphi(\alpha)-\alpha^2/2\bigr)$ (comme dans le corrigé 2019). Conclusion : $A=2\bigl(\varphi(\alpha)-\dfrac{\alpha^2}{2}\bigr)$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill DR-C.1 — expression de la réciproque

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x}}$ . On admet que $f$ est continue, strictement croissante, dérivable sur $]0,+\infty[$ , et que $f([0,+\infty[)=[0,1[$ .

Justifier que $f$ admet une fonction réciproque $g$ définie sur $[0,1[$ .
Montrer que pour tout $x\in[0,1[$ , $g(x)=-\ln(1-x^2)$ .
Calculer la dérivée $g'(x)$ pour $x\in[0,1[$ , puis l'équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $0$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On sait que $f$ est continue et strictement croissante de $[0,+\infty[$ sur $[0,1[$ . Par suite $f$ réalise une bijection et admet une réciproque $g:[0,1[\to[0,+\infty[$ .

2. Soit $y\in[0,1[$ et $x=g(y)$ , de sorte que $y=f(x)$ . On a $y^2=1-e^{-x}$ , d'où $e^{-x}=1-y^2$ , puis $x=-\ln(1-y^2)$ . En renommant, $g(x)=-\ln(1-x^2)$ .

3. La dérivée vaut $g'(x)=\dfrac{2x}{1-x^2}$ . En $0$ , $g'(0)=0$ et $g(0)=0$ , d'où la tangente d'équation $Y=0$ .

Méthode / Automatismes

Croissance stricte + continuité + image des bornes $\Rightarrow$ bijection.
Réciproque : résoudre $y=f(x)$ en $x$ , puis renommer.
Tangente à $g$ : $(g^{-1})'$ ou dérivée directe de l'expression de $g$ .
Aire entre $f$ et $f^{-1}$ : symétrie par rapport à $y=x$ .

Pièges classiques

Écrire $g(x)=-\ln(1-x)$ au lieu de $-\ln(1-x^2)$ . Oublier le domaine $x\in[0,1[$ pour $g$ . Calculer l'aire comme $\int(f-g)$ sans vérifier $f\ge g$ sur $[0,\alpha]$ .

Dérivée, réciproque et aire — f(x)=1−e−xf(x)=\sqrt{1-e^{-x}}f(x)=1−e−x​

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Dérivée, réciproque et aire — $f(x)=\sqrt{1-e^{-x}}$