DR-EDérivabilité

Dérivée de f = ln(e^x − 1) et comparaison à g

Idée directrice

Pour $f=\ln\circ u$ avec $u(x)=e^x-1$ , calculer $f'=u'/u$ , relier à $g=e^x/(e^x-1)$ , étudier $h=f-g$ via $h'$ , et l'asymptote oblique $y=x$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« f est dérivable … f' = g »

« h est strictement croissante »

« asymptote oblique y = x »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f(x)=\ln(e^x-1)$ sur $]0,+\infty[$ et $g(x)=\dfrac{e^x}{e^x-1}$ (esprit bac techniques 2022 principale).

Montrer que $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et que $f'(x)=g(x)$ .
En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0,+\infty[$ .
On pose $h=f-g$ . Montrer que $h$ est strictement croissante. En déduire que $f(x)=g(x)$ a une unique solution sur $]0,+\infty[$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $u(x)=e^x-1>0$ sur $]0,+\infty[$ , $u$ dérivable, $f=\ln\circ u$ dérivable et $f'=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{e^x}{e^x-1}=g(x)$ (corrigé 2022).

2. $g(x)>1>0$ pour $x>0$ ⇒ $f'>0$ ⇒ $f$ strictement croissante (tableau du corrigé).

3. $h'=f'-g'=g-g'$ . Le corrigé établit $h'>0$ donc $h$ strictement croissante, continue, de limite $-\infty$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$ ⇒ unique zéro ⇒ unique solution de $f=g$ (corrigé 2022).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill DR-E.1 — Asymptote y = x

1 questionCorrigé masqué

On a $f(x)-x=-\ln(g(x))$ avec $g(x)>1$ et $\lim_{x\to+\infty}g(x)=1$ . Calculer $\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)$ et conclure sur l'asymptote de la courbe de $f$ . Rappeler aussi que $f$ est dérivable avec $f'=g$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

$\lim(f-x)=-\ln 1=0$ donc $y=x$ est asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ . De plus $f(x)-x<0$ : la courbe est au-dessous de la droite (corrigé 2022 techniques). Par ailleurs $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $f'=g>0$ , donc $f$ est strictement croissante.

Méthode / Automatismes

Dérivée de $\ln u$ : $u'/u$ (domaine $u>0$ ).
Pour $f=g$ : étudier $h=f-g$ et le signe de $h'$ .

Pièges classiques

Oublier le domaine $e^x>1$ ; confondre $f'$ et $g'$ .