Masar
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Bac Tunisie
Mathématiques/DR-B
Entraîner la reconnaissance
DR-BDérivabilité

Dérivée, variations et extrema — f=g−g2f=g-g^2 avec g(x)=xexg(x)=x\mathrm{e}^{x}

Idée directrice

Forme attestée en 2021 session contrôle, exercice 4 (mode `fonction_xe_x`) : on part de g(x)=xexg(x)=x e^{x}, on construit f=g−g2f=g-g^2, on dérive, on dresse le tableau de variation, on lit les extrema, puis une aire via une intégrale. Cœur : dérivée + variations, pas un calcul de limite isolé.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« f(x)=g(x)−(g(x))2f(x)=g(x)-(g(x))^2 avec g(x)=xexg(x)=xe^{x} »

« Montrer que f′(x)=2g′(x)(12−g(x))f'(x)=2g'(x)(\tfrac12-g(x)) »

« Dresser le tableau de variation de ff »

« Montrer que l'aire Ω=∫0αx2e2x dx\Omega=\int_0^{\alpha}x^2 e^{2x}\,dx »

Sujet principal

Exercice — étude composite de f=g−g2f=g-g^{2} (esprit 2021 contrôle, ex.4)

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=xexg(x)=x\mathrm{e}^{x}. Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=g(x)−(g(x))2f(x)=g(x)-(g(x))^2. On se propose d'étudier la dérivabilité de ff, ses variations et ses extrema, puis une aire.

  1. Calculer f′(x)f'(x) en fonction de g′(x)g'(x) et de g(x)g(x). Montrer que f′(x)=2g′(x)(12−g(x))f'(x)=2g'(x)\bigl(\tfrac12-g(x)\bigr).
  2. Étudier le signe de la dérivée f′f' et dresser le tableau de variation de ff. Préciser les extrema locaux de ff.
  3. Montrer que ff est croissante sur un intervalle II et décroissante sur un intervalle JJ que l'on précisera.
  4. Calculer lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) et interpréter. Calculer lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x).
  5. Soit α\alpha le réel tel que g(α)=1g(\alpha)=1. Montrer que l'aire Ω\Omega du domaine situé entre la courbe de x↦x2e2xx\mapsto x^2\mathrm{e}^{2x}, l'axe des abscisses et les droites x=0x=0 et x=αx=\alpha vaut ∫0αx2e2x dx\displaystyle\int_0^{\alpha} x^2\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x, et calculer cette intégrale par une primitive.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Dérivée. On a g′(x)=ex(x+1)g'(x)=\mathrm{e}^{x}(x+1). Comme f=g−g2f=g-g^2, on obtient f′=g′−2gg′=g′(1−2g)=2g′(12−g)f'=g'-2g g'=g'(1-2g)=2g'\bigl(\tfrac12-g\bigr). On a : f′(x)=2g′(x)(12−g(x))f'(x)=2g'(x)\bigl(\tfrac12-g(x)\bigr).

**2. Signe de f′f' et tableau.** g′(x)=0⇔x=−1g'(x)=0\Leftrightarrow x=-1 ; g(x)=12g(x)=\tfrac12 admet une unique solution β\beta (car gg est bijective de [−1,+∞[[-1,+\infty[ sur [−1/e,+∞[[-1/\mathrm{e},+\infty[ et 12>−1/e\tfrac12>-1/\mathrm{e}). On dresse le tableau de variation en croisant les signes de g′g' et de 12−g\tfrac12-g. Les extrema locaux se lisent aux zéros de f′f' où f′f' change de signe.

3. Monotonie. Sur l'intervalle où f′≥0f'\ge 0, ff est croissante ; où f′≤0f'\le 0, ff est décroissante. Les intervalles II et JJ se lisent sur le tableau de la question 2 (typiquement II entre le minimum local de gg et β\beta, JJ au-delà).

4. Limites. Quand x→−∞x\to-\infty, g(x)→0g(x)\to 0, donc f(x)→0f(x)\to 0 : asymptote horizontale y=0y=0. Quand x→+∞x\to+\infty, g(x)→+∞g(x)\to+\infty et f(x)=g(1−g)→−∞f(x)=g(1-g)\to-\infty.

5. Aire. Sur [0,α][0,\alpha], x2e2x≥0x^2\mathrm{e}^{2x}\ge 0, donc l'aire vaut l'intégrale Ω=∫0αx2e2x dx\Omega=\displaystyle\int_0^{\alpha}x^2\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x. Par deux intégrations par parties (primitive de x↦x2e2xx\mapsto x^2\mathrm{e}^{2x}), on obtient une expression explicite en α\alpha. Comme g(α)=1⇔αeα=1g(\alpha)=1\Leftrightarrow \alpha\mathrm{e}^{\alpha}=1, on simplifie le résultat numérique le cas échéant.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill DR-B.1 — dérivée factorisée de g−g2g-g^2

2 questionsCorrigé masqué

Soit gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=xexg(x)=x\mathrm{e}^{x} et f=g−g2f=g-g^2. On s'entraîne sur la dérivée et le sens de variation.

  1. Montrer que f′(x)=2g′(x)(12−g(x))f'(x)=2g'(x)\bigl(\tfrac12-g(x)\bigr) pour tout x∈Rx\in\mathbb{R}.
  2. En déduire le signe de f′f' sur ]−1,β[]-1,\beta[ où β\beta vérifie g(β)=12g(\beta)=\tfrac12 et g′(β)>0g'(\beta)>0, puis préciser si ff y est croissante ou décroissante.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. f=g−g2f=g-g^2 donne f′=g′−2gg′=g′(1−2g)=2g′(12−g)f'=g'-2gg'=g'(1-2g)=2g'(\tfrac12-g). La dérivée est donc bien f′(x)=2g′(x)(12−g(x))f'(x)=2g'(x)\bigl(\tfrac12-g(x)\bigr).

2. Sur ]−1,β[]-1,\beta[, g′>0g'>0 (car x>−1x>-1) et g(x)<12g(x)<\tfrac12 (car gg croissante sur [−1,+∞[[-1,+\infty[ et g(β)=12g(\beta)=\tfrac12), donc 12−g>0\tfrac12-g>0 et f′>0f'>0 : ff est croissante sur ]−1,β[]-1,\beta[.

Méthode / Automatismes
  • Factoriser f′=g′(1−2g)f'=g'(1-2g) avant de chercher le signe.
  • Tableau de variation : lignes g′g', 12−g\tfrac12-g, f′f', ff.
  • Extrema : changer de signe de f′f', pas seulement f′=0f'=0.
  • Aire positive : vérifier le signe de l'intégrande sur l'intervalle.
Pièges classiques

Oublier le facteur 22 dans f′=2g′(12−g)f'=2g'(\tfrac12-g). Confondre les zéros de g′g' et ceux de 12−g\tfrac12-g. Calculer l'aire sans s'assurer que x2e2x≥0x^2e^{2x}\ge 0.