MX-DMatrices et systèmes linéaires

Matrice A avec A² = 3A — inverse de B = I + A

Idée directrice

Pour une matrice $A$ vérifiant $A^2=3A$ , on construit $B=I+A$ et on montre que $B$ est inversible en exhibant un produit égal à un multiple de $I$ (souvent via $4I-A$ ).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« A² = 3A »

« B est inversible »

« (4I − A)(I + A) = 4I »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit $A$ la matrice $3\times 3$ dont toutes les entrées valent $1$ (esprit bac info 2018 principale). On pose $B=I+A$ .

Vérifier que $A^2=3A$ .
Calculer $(4I-A)B$ en utilisant $A^2=3A$ . En déduire que $B$ est inversible et donner $B^{-1}$ .
On écrit un système linéaire $BX=Y$ . Comment résoudre $X$ à l'aide de $B^{-1}$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $A$ a toutes ses lignes égales à $(1,1,1)$ . Le produit $A\times A$ a toutes ses entrées égales à $3$ , soit $A^2=3A$ (corrigé 2018 : « A² = … = 3A »).

2. $(4I-A)(I+A)=4I+4A-A-A^2=4I+3A-3A=4I$ (car $A^2=3A$ ).

Donc $(4I-A)B=4I$ ⇒ $B\big(\frac14(4I-A)\big)=I$ ⇒ $B$ inversible et $B^{-1}=\dfrac14(4I-A)$ .

Le corrigé écrit aussi la forme équivalente liée à $I-A$ selon la normalisation choisie ; l'essentiel est le produit égal à un multiple de $I$ .

3. $BX=Y$ ⇒ $X=B^{-1}Y=\dfrac14(4I-A)Y$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill MX-D.1 — Produit (4I−A)(I+A)

1 questionCorrigé masqué

En admettant la relation $A^2=3A$ pour une matrice carrée $A$ , développer le produit $(4I-A)(I+A)$ et conclure en une phrase sur l'inversibilité de la matrice $B=I+A$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

$(4I-A)(I+A)=4I+4A-A-A^2=4I+3A-3A=4I$ (en utilisant la relation de matrice $A^2=3A$ ). Donc $B=I+A$ vérifie $(4I-A)B=4I$ , soit $B\cdot\frac14(4I-A)=I$ : la matrice $B$ est inversible d'inverse $\frac14(4I-A)$ (corrigé bac Sciences de l'informatique 2018, exercice sur les matrices).

Méthode / Automatismes

Relation polynomiale sur $A$ ⇒ candidats d'inverse de $I+A$ de la forme $aI+bA$ .
Vérifier les deux produits $MB=BM=I$ (ou multiple clair).

Pièges classiques

Oublier $A^2=3A$ dans le développement ; conclure inversible sans exhiber l'inverse.