MX-CMatrices et systèmes linéaires

Produit matriciel quantités × prix et lecture économique

Idée directrice

Un autre usage Eco-Gestion du produit matriciel : une matrice $Q$ de quantités (usines × matières) multipliée par une matrice-colonne $P$ de prix unitaires donne le vecteur des coûts par usine. Le contrôle 2021 enchaîne souvent ce calcul avec un système d'augmentations de prix.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer le produit Q×P »

« Coût mensuel total »

« Matrice des quantités / matrice des prix »

Sujet principal

Exercice — coûts mensuels par produit matriciel

3 questionsCorrigé masqué

On travaille avec le produit matriciel d'une matrice de quantités par une matrice-colonne de prix (lecture économique classique des matrices Eco-Gestion).

Trois ateliers $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ consomment trois matières $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ . La matrice des quantités mensuelles (en centaines d'unités) est

$Q=\begin{pmatrix}20&10&5\\15&25&10\\30&5&20\end{pmatrix}$ , et la matrice-colonne des prix unitaires (en milles dinars) est $P=\begin{pmatrix}4\\2{,}5\\3\end{pmatrix}$ .

Calculer le produit matriciel $Q\times P$ . Interpréter chaque coefficient du résultat.
Le coût total mensuel des trois ateliers est la somme des coefficients de $Q\times P$ . Le calculer.
On suppose que les prix deviennent $P'=\begin{pmatrix}4{,}2\\2{,}5\\3\end{pmatrix}$ . Calculer le nouveau produit matriciel $Q\times P'$ et la variation du coût de l'atelier $A_1$ seulement.

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1. On pose le produit matriciel $Q\times P$ . On a : $Q\times P=\begin{pmatrix}20\cdot4+10\cdot2{,}5+5\cdot3\\15\cdot4+25\cdot2{,}5+10\cdot3\\30\cdot4+5\cdot2{,}5+20\cdot3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}80+25+15\\60+62{,}5+30\\120+12{,}5+60\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}120\\152{,}5\\192{,}5\end{pmatrix}$ . On obtient le coût mensuel de $A_1$ ( $120$ ), de $A_2$ ( $152{,}5$ ) et de $A_3$ ( $192{,}5$ ), en milles dinars.

2. On a : le coût total vaut $120+152{,}5+192{,}5=465$ milles dinars. On obtient un agrégat directement issu de la somme des lignes du produit matriciel.

3. On pose $P'=\begin{pmatrix}4{,}2\\2{,}5\\3\end{pmatrix}$ . On a : le premier coefficient de $Q\times P'$ est $20\cdot4{,}2+10\cdot2{,}5+5\cdot3=84+25+15=124$ . Par suite le coût de $A_1$ passe de $120$ à $124$ , soit une hausse de $4$ milles dinars (seule la première colonne de prix a bougé).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill MX-C.1 — Produit matriciel 2×2 et lecture

2 questionsCorrigé masqué

Soit $R=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ et $S=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$ .

Calculer le produit matriciel $R\times S$ .
La matrice $R$ est-elle inversible ? Justifier par le déterminant.

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1. On pose $R\times S$ . On a : $R\times S=\begin{pmatrix}3\cdot5+1\cdot1\\2\cdot5+4\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16\\14\end{pmatrix}$ . On obtient $\begin{pmatrix}16\\14\end{pmatrix}$ .

2. On a : $\det(R)=12-2=10\neq0$ . Par suite la matrice $R$ est inversible.

Entraînement 02 / 02

Drill MX-C.2 — Passage d'un système 2×2 à l'écriture matricielle

2 questionsCorrigé masqué

On considère le système $(S):\begin{cases}3x+y=11\\x+2y=8\end{cases}$ .

Donner la matrice du système et l'écriture matricielle de $(S)$ .
Calculer le déterminant de cette matrice et résoudre le système.

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1. On pose $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix}11\\8\end{pmatrix}$ . On a : l'écriture matricielle $A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=C$ .

2. On a : $\det(A)=6-1=5\neq0$ , donc la matrice est inversible. De $y=11-3x$ et $x+2(11-3x)=8$ on tire $x+22-6x=8$ , soit $-5x=-14$ , donc $x=\dfrac{14}{5}$ et $y=11-\dfrac{42}{5}=\dfrac{13}{5}$ . Par suite $S_{\mathbb{R}^2}=\bigl\{\bigl(\tfrac{14}{5};\tfrac{13}{5}\bigr)\bigr\}$ .

Méthode / Automatismes

Identifier lignes = entités (ateliers) et colonnes = facteurs (matières).
Le produit matriciel $Q\times P$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $Q$ égale le nombre de lignes de $P$ .
Interpréter chaque coefficient avant d'enchaîner un second calcul.

Pièges classiques

Multiplier $P\times Q$ dans le mauvais ordre. Sommer les prix au lieu de faire le produit matriciel. Oublier les unités (milles dinars, centaines d'unités).