Masar
Masar
Bac Tunisie
Mathématiques/SU-A
Entraîner la reconnaissance
SU-ASuites réelles

Suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) et l'IAF

Idée directrice

Le c\oe ur « créatif » du problème. Une suite est définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) et l'on veut sa limite. Trois temps : (1) montrer qu'un intervalle II contenant le point fixe α\alpha est stable (f(I)⊂If(I)\subset I) ; (2) majorer ∣un+1−α∣=∣f(un)−f(α)∣≤k ∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|=|f(u_n)-f(\alpha)|\leq k\,|u_n-\alpha| par l'inégalité des accroissements finis, où k=sup⁡∣f′∣<1k=\sup|f'|<1 ; (3) en déduire ∣un−α∣≤kn∣u0−α∣→0|u_n-\alpha|\leq k^n|u_0-\alpha|\to0, donc un→αu_n\to\alpha.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Soit (un)(u_n) définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) » ; « montrer que ∣un+1−α∣≤k∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\leq k|u_n-\alpha| ».

Sujet principal

Exercice 4 — convergence par l'IAF

4 questionsCorrigé masqué

Soit f(x)=e−xf(x)=\e^{-x} et (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1 et un+1=f(un)=e−unu_{n+1}=f(u_n)=\e^{-u_n}. On admet le point fixe α∈]12,1[\alpha\in\left]\tfrac12,1\right[ tel que α=e−α\alpha=\e^{-\alpha} (cf. scénario C).

  1. Montrer que pour tout nn, un∈[13,1]u_n\in\left[\tfrac13,1\right].
  2. Montrer que pour tout x∈[13,1]x\in\left[\tfrac13,1\right],  ∣f′(x)∣≤e−1/3\ |f'(x)|\leq \e^{-1/3}, puis que e−1/3<1\e^{-1/3}<1.
  3. En déduire que ∣un+1−α∣≤e−1/3 ∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\leq \e^{-1/3}\,|u_n-\alpha|, puis que ∣un−α∣≤(e−1/3)n|u_n-\alpha|\leq \big(\e^{-1/3}\big)^n.
  4. Conclure sur la convergence de (un)(u_n) et déterminer sa limite.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Montrons que pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, un∈I=[13,1]u_n\in I=\left[\tfrac13,1\right], par récurrence. Initialisation : u0=1∈Iu_0=1\in I. Soit f(x)=e−xf(x)=\e^{-x}, décroissante sur II : f(I)=[f(1),f ⁣(13)]=[e−1,e−1/3]≈[0,37, 0,72]⊂If(I)=\left[f(1),f\!\left(\tfrac13\right)\right]=\left[\e^{-1},\e^{-1/3}\right]\approx[0{,}37,\,0{,}72]\subset I (car 13≈0,33≤0,37\tfrac13\approx0{,}33\le0{,}37 et 0,72≤10{,}72\le1). Supposons que un∈Iu_n\in I et montrons que un+1∈Iu_{n+1}\in I : un+1=f(un)∈f(I)⊂Iu_{n+1}=f(u_n)\in f(I)\subset I. Conclusion : un∈Iu_n\in I pour tout nn.

2. f′(x)=−e−xf'(x)=-\e^{-x}, donc ∣f′(x)∣=e−x|f'(x)|=\e^{-x}, décroissante en xx ; sur II son maximum est en x=13x=\tfrac13 : ∣f′(x)∣≤e−1/3|f'(x)|\le \e^{-1/3}. Comme 13>0\tfrac13>0, e−1/3<e0=1\e^{-1/3}<\e^0=1. Notons k=e−1/3∈ ]0,1[k=\e^{-1/3}\in\,]0,1[.

3. Par l'IAF appliquée à ff entre unu_n et α\alpha (tous deux dans II) : ∣f(un)−f(α)∣≤k ∣un−α∣|f(u_n)-f(\alpha)|\le k\,|u_n-\alpha|, c'est-à-dire ∣un+1−α∣≤k ∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\le k\,|u_n-\alpha|. Montrons que pour tout nn, ∣un−α∣≤kn|u_n-\alpha|\le k^n par récurrence : initialisation ∣u0−α∣≤1=k0|u_0-\alpha|\le1=k^0. Supposons que ∣un−α∣≤kn|u_n-\alpha|\le k^n et montrons que ∣un+1−α∣≤kn+1|u_{n+1}-\alpha|\le k^{n+1} : ∣un+1−α∣≤k ∣un−α∣≤k⋅kn=kn+1|u_{n+1}-\alpha|\le k\,|u_n-\alpha|\le k\cdot k^n=k^{n+1}.

4. Comme 0<k<10<k<1, kn→0k^n\to0, d'où par encadrement ∣un−α∣→0|u_n-\alpha|\to0. Conclusion : (un)(u_n) converge et lim⁡n→+∞un=α\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill SU-A.1 — intervalle stable et IAF

4 questionsCorrigé masqué

Soit f(x)=12 x+1xf(x)=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{1}{x} et (un)(u_n) définie par u0=2u_0=2 et un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n).

  1. Vérifier que α=2\alpha=\sqrt2 est le point fixe de ff sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
  2. Montrer que l'intervalle I=[2, 2]I=[\sqrt2,\,2] est stable par ff.
  3. Montrer que pour tout x∈Ix\in I, ∣f′(x)∣≤12|f'(x)|\le \dfrac12, puis que ∣un+1−2∣≤12∣un−2∣|u_{n+1}-\sqrt2|\le\tfrac12|u_n-\sqrt2|.
  4. En déduire lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a : f(x)=x⇔1x=x2⇔x2=2f(x)=x\Leftrightarrow \tfrac1x=\tfrac x2\Leftrightarrow x^2=2, d'où α=2\alpha=\sqrt2 sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

2. f′(x)=12−1x2f'(x)=\tfrac12-\tfrac1{x^2}. Sur I=[2,2]I=[\sqrt2,2], f′≥0f'\ge0 car x2≥2x^2\ge2, donc ff est croissante ; f(2)=2f(\sqrt2)=\sqrt2 et f(2)=32≤2f(2)=\tfrac32\le2. Donc f(I)=[2,32]⊂If(I)=[\sqrt2,\tfrac32]\subset I.

3. Sur II, 2≤x2≤42\le x^2\le4 donc 0≤1x2≤120\le\tfrac1{x^2}\le\tfrac12 et 0≤f′(x)≤120\le f'(x)\le\tfrac12, d'où ∣f′∣≤12|f'|\le\tfrac12. Par l'IAF, ∣un+1−2∣=∣f(un)−f(2)∣≤12∣un−2∣|u_{n+1}-\sqrt2|=|f(u_n)-f(\sqrt2)|\le\tfrac12|u_n-\sqrt2|.

4. Montrons que pour tout nn, ∣un−2∣≤(12)n∣u0−2∣|u_n-\sqrt2|\le(\tfrac12)^n|u_0-\sqrt2|, par récurrence. Initialisation : égalité pour n=0n=0. Supposons que ∣un−2∣≤(12)n∣u0−2∣|u_n-\sqrt2|\le(\tfrac12)^n|u_0-\sqrt2| et montrons que ∣un+1−2∣≤(12)n+1∣u0−2∣|u_{n+1}-\sqrt2|\le(\tfrac12)^{n+1}|u_0-\sqrt2| : c'est l'IAF ci-dessus. Comme (12)n→0(\tfrac12)^n\to0, Conclusion : lim⁡n→+∞un=2\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt2.

Entraînement 02 / 02

Drill SU-A.2 — le piège de la monotonie de ff

3 questionsCorrigé masqué

Soit f(x)=3x+4f(x)=\sqrt{3x+4} et (un)(u_n) : u0=0u_0=0, un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n). Le point fixe positif est α=4\alpha=4.

  1. Montrer que ff est croissante sur [0,4][0,4] et que [0,4][0,4] est stable.
  2. En déduire par récurrence que (un)(u_n) est croissante et majorée par 44.
  3. Conclure sur la convergence et donner la limite.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. f′(x)=323x+4>0f'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+4}}>0 : ff croissante sur [0,4][0,4]. f(0)=2f(0)=2, f(4)=4f(4)=4, donc f([0,4])=[2,4]⊂[0,4]f([0,4])=[2,4]\subset[0,4].

2. Montrons que pour tout nn, un≤un+1≤4u_n\le u_{n+1}\le4, par récurrence. Initialisation : u0=0≤u1=2≤4u_0=0\le u_1=2\le4. Supposons que un≤un+1≤4u_n\le u_{n+1}\le4 et montrons que un+1≤un+2≤4u_{n+1}\le u_{n+2}\le4 : ff croissante et l'intervalle stable donnent un+1≤un+2≤4u_{n+1}\le u_{n+2}\le4.

3. Croissante majorée ⇒\Rightarrow converge vers ℓ=f(ℓ)∈[0,4]\ell=f(\ell)\in[0,4]. Conclusion : ℓ=4\ell=4.

Méthode / Automatismes
  • IAF : si ∣f′∣≤k|f'|\leq k sur II, alors ∣f(x)−f(y)∣≤k∣x−y∣|f(x)-f(y)|\leq k|x-y| pour tous x,y∈Ix,y\in I. C'est l'outil de convergence n\textsuperscript{o}1.
  • Recette en 3 temps : stabilité f(I)⊂If(I)\subset I →\to contraction k=sup⁡I∣f′∣<1k=\sup_I|f'|<1 →\to ∣un−α∣≤kn∣u0−α∣|u_n-\alpha|\leq k^n|u_0-\alpha|.
  • Alternative sans IAF : montrer (un)(u_n) monotone et bornée (donc convergente), puis passer à la limite dans un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) (ff continue) pour identifier ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell).
  • Monotonie de (un)(u_n) : étudier le signe de f(x)−xf(x)-x, ou de un+1−unu_{n+1}-u_n ; si ff est décroissante, considérer les sous-suites (u2n)(u_{2n}) et (u2n+1)(u_{2n+1}).
Pièges classiques

Appliquer l'IAF sans avoir établi la stabilité de II (les termes doivent y rester pour que la majoration de ∣f′∣|f'| soit licite). Affirmer ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell) sans invoquer la continuité de ff. Oublier que si ff décroît, (un)(u_n) n'est en général pas monotone — il faut passer aux sous-suites de rangs pairs et impairs.