Masar — Ton parcours vers le Bac

Sujet principal

Exercice 2 — suites numériques et sommes

6 questionsCorrigé masqué

Partie A — Suite arithmétique (salaire mensuel). Une entreprise verse à un employé un salaire mensuel de $1\,200$ dinars pendant la première année. Chaque année, ce salaire mensuel augmente d'un montant fixe de $80$ dinars. On note $u_n$ le salaire mensuel perçu pendant l'année $n$ ( $n\geq 1$ ).

Exprimer le salaire mensuel $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme totale $S$ reçue par l'employé sur les $15$ premières années complètes (soit $12$ mois par année). On justifiera $S = 12\displaystyle\sum_{n=1}^{15} u_n$ .
À partir de quelle année le salaire mensuel $u_n$ dépasse-t-il $2\,000$ dinars ?

Partie B — Suite géométrique. Un capital initial de $5\,000$ dinars est placé à intérêts composés au taux annuel de $4\%$ .

Exprimer le capital $C_n$ après $n$ années en fonction de $n$ .
Calculer la somme $T=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}5000(1{,}04)^k$ (capitaux en fin d'année de l'année $1$ à l'année $10$ ). On donnera une expression exacte puis une valeur approchée à l'unité sans arrondir prématurément $(1{,}04)^{10}$ .
Au bout de combien d'années ce capital dépasse-t-il $7\,000$ dinars ? (On donne $\ln(1{,}04)\approx0{,}0392$ .)

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

A.1. On pose $u_n$ le salaire mensuel de l'année $n$ : suite arithmétique de premier terme $u_1=1200$ et de raison $r=80$ . On a : $u_n = 1200 + (n-1)\times 80 = 80n + 1120$ . Conclusion : $u_n = 80n + 1120$ (dinars par mois).

A.2. Sur $15$ années complètes, la somme annuelle de l'année $n$ vaut $12 u_n$ , donc $S = 12\displaystyle\sum_{n=1}^{15} u_n$ . La somme arithmétique donne $\displaystyle\sum_{n=1}^{15} u_n = \dfrac{(u_1+u_{15})\times 15}{2}$ . On a $u_{15}=80\times15+1120=2320$ , d'où $\displaystyle\sum_{n=1}^{15} u_n=\dfrac{(1200+2320)\times15}{2}=26\,400$ . On obtient $S = 12\times 26\,400 = 316\,800$ dinars. Conclusion : $S=316\,800$ .

A.3. On résout $u_n > 2000$ : $80n+1120>2000 \Leftrightarrow 80n>880 \Leftrightarrow n>11$ . Conclusion : le salaire mensuel dépasse $2\,000$ DT à partir de la $12^{\text{e}}$ année ( $u_{12}=2080$ ).

B.1. On pose $C_n$ le capital après $n$ années : suite géométrique de raison $q=1{,}04$ et de premier terme $C_0=5000$ . On a : $C_n = 5000\times(1{,}04)^n$ .

B.2. $T = \displaystyle\sum_{k=1}^{10}5000\times(1{,}04)^k = 5000\times1{,}04\times\dfrac{(1{,}04)^{10}-1}{1{,}04-1} = 5200\times\dfrac{(1{,}04)^{10}-1}{0{,}04}$ . Avec $(1{,}04)^{10} = 1{,}4802442849\ldots$ , on obtient $T = 5200\times\dfrac{0{,}4802442849\ldots}{0{,}04} = 62\,431{,}757\ldots$ , soit $62\,432$ dinars à l'unité. Conclusion : $T\approx62\,432$ .

B.3. On pose l'inéquation $5000\times(1{,}04)^n>7000$ : $(1{,}04)^n>1{,}4 \Leftrightarrow n\ln(1{,}04)>\ln(1{,}4) \Leftrightarrow n>\dfrac{\ln(1{,}4)}{0{,}0392}\approx\dfrac{0{,}3365}{0{,}0392}\approx8{,}6$ . Conclusion : à partir de $n=9$ années.

Variantes rencontrées : Suites arithmético-géométriques (réduction à une suite géométrique par changement

v_n=u_n-\ell

) ; problèmes de placement/remboursement avec versements réguliers (annuités).

Suites arithmétiques et géométriques — somme des termes