SU-CSuites réelles

Convergence, limites et théorèmes de comparaison / gendarmes

Idée directrice

L'enjeu est de prouver la convergence d'une suite en la comparant ou en l'encadrant par des suites dont la limite est connue. Deux outils phares : le théorème des gendarmes ( $a_n\leq u_n\leq b_n$ avec $a_n\to\ell$ et $b_n\to\ell$ implique $u_n\to\ell$ ) et les théorèmes de comparaison ( $u_n\leq v_n$ et $v_n\to0$ implique $u_n\to0$ , etc.). On exploite aussi les suites monotones bornées : toute suite croissante et majorée converge.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée » ; « En déduire la limite de $(u_n)$ » ; « Encadrer $u_n$ puis appliquer le théorème des gendarmes ».

Sujet principal

Exercice 3 — convergence et encadrements

5 questionsCorrigé masqué

Soit $(u_n)_{n\geq1}$ définie par $u_n = \dfrac{n\cos^2(n\pi/7)}{n^2+3}$ et $(v_n)_{n\geq0}$ définie par $v_0=0$ et $v_{n+1}=\dfrac{v_n+2}{v_n+3}$ . On pose $f(x)=\dfrac{x+2}{x+3}$ pour $x\geq0$ , et $\alpha = \sqrt{3}-1$ (point fixe non négatif de $f$ ).

Partie A — Théorème des gendarmes.

Justifier que $0\leq u_n\leq\dfrac{n}{n^2+3}$ pour tout $n\geq1$ .
Montrer que $\dfrac{n}{n^2+3}\leq\dfrac{1}{n}$ pour tout $n\geq1$ , puis en déduire $\lim_{n\to+\infty}u_n$ .

Partie B — Suite récurrente bornée et monotone.

Montrer par récurrence que pour tout $n\geq0$ , $0\leq v_n\leq \alpha$ , en utilisant la monotonie de $f$ sur $[0,+\infty[$ et le fait que $f(\alpha)=\alpha$ .
1. Vérifier $f(\alpha)=\alpha$ et que $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$ .
2. Initialisation : $v_0=0\in[0,\alpha]$ .
3. Hérédité : si $0\leq v_n\leq\alpha$ , en déduire $0\leq v_{n+1}\leq\alpha$ .
Montrer que $v_{n+1}-v_n = \dfrac{-v_n^2-2v_n+2}{v_n+3}\geq 0$ pour tout $n$ (en utilisant $v_n\in[0,\alpha]$ ), et conclure que $(v_n)$ est croissante.
En déduire que $(v_n)$ converge, puis montrer que sa limite vaut $\alpha$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

A.1. On sait que $0\le\cos^2(n\pi/7)\le1$ pour tout $n$ , donc $0\le n\cos^2(n\pi/7)\le n$ . En divisant par $n^2+3>0$ : $0\le u_n\le\dfrac{n}{n^2+3}$ .

A.2. $\dfrac{n}{n^2+3}\le\dfrac{n}{n^2}=\dfrac{1}{n}$ car $n^2\le n^2+3$ . Comme $\dfrac{1}{n}\to0$ et $0\le u_n\le\dfrac{1}{n}$ , par le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$ .

B. On a $\alpha=\sqrt{3}-1$ . $f(\alpha)=\dfrac{\alpha+2}{\alpha+3}$ . Or $\alpha$ est racine de $x^2+2x-2=0$ , d'où $\alpha^2+2\alpha=2$ , puis $\alpha(\alpha+3)=\alpha+2$ , donc $f(\alpha)=\alpha$ . De plus $f'(x)=\dfrac{1}{(x+3)^2}>0$ : $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$ .

Montrons que pour tout $n\ge0$ , $0\le v_n\le\alpha$ , par récurrence. Initialisation : $v_0=0$ et $0\le\alpha$ , donc $0\le v_0\le\alpha$ . Supposons que $0\le v_n\le\alpha$ et montrons que $0\le v_{n+1}\le\alpha$ : la croissance de $f$ donne $f(0)\le f(v_n)\le f(\alpha)$ , soit $\dfrac{2}{3}\le v_{n+1}\le\alpha$ , d'où a fortiori $0\le v_{n+1}\le\alpha$ . Conclusion : $0\le v_n\le\alpha$ pour tout $n$ .

B.2. $v_{n+1}-v_n=\dfrac{v_n+2}{v_n+3}-v_n=\dfrac{-v_n^2-2v_n+2}{v_n+3}$ . Le dénominateur $v_n+3>0$ . Le numérateur $g(v_n)$ avec $g(x)=-x^2-2x+2$ s'annule en $x=\alpha$ ; sur $[0,\alpha]$ , $g(x)\ge0$ (parabole tournée vers le bas, $g(0)=2>0$ , $g(\alpha)=0$ ). Donc $v_{n+1}-v_n\ge0$ : $(v_n)$ est croissante.

B.3. $(v_n)$ croissante et majorée par $\alpha$ converge vers $\ell\in[0,\alpha]$ . En passant à la limite dans $v_{n+1}=f(v_n)$ : $\ell=f(\ell)$ , d'où $\ell^2+2\ell-2=0$ . Les racines sont $-1\pm\sqrt{3}$ ; seule $\ell=\sqrt{3}-1=\alpha$ est dans $[0,\alpha]$ . Conclusion : $\ell=\alpha=\sqrt{3}-1$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill SU-C.1 — théorème des gendarmes

2 questionsCorrigé masqué

Soit $u_n=\dfrac{n+\cos n}{n+1}$ pour $n\ge0$ .

Encadrer $u_n$ à l'aide de $-1\le\cos n\le1$ .
En déduire $\lim u_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On sait que $-1\le\cos n\le1$ , d'où $\dfrac{n-1}{n+1}\le u_n\le1$ .

2. D'après cet encadrement, les bornes tendent vers $1$ . On en déduit que, par le théorème des gendarmes, $u_n\to1$ . Conclusion : $\lim u_n=1$ .

Entraînement 02 / 02

Drill SU-C.2 — croissante majorée

3 questionsCorrigé masqué

Soit $(u_n)$ : $u_0=1$ , $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ .

Montrer par récurrence que $1\le u_n\le2$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
Conclure et déterminer la limite.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Montrons que pour tout $n$ , $1\le u_n\le2$ , par récurrence. Initialisation : $u_0=1\in[1,2]$ . Supposons que $1\le u_n\le2$ et montrons que $1\le u_{n+1}\le2$ : $3\le2+u_n\le4\Rightarrow\sqrt3\le u_{n+1}\le2$ , et $\sqrt3\ge1$ , d'où $1\le u_{n+1}\le2$ .

2. $u_{n+1}^2-u_n^2=2+u_n-u_n^2=-(u_n-2)(u_n+1)\ge0$ sur $[1,2]$ (termes positifs), d'où $u_{n+1}\ge u_n$ : $(u_n)$ est croissante.

3. Croissante et majorée par $2$ , $(u_n)$ converge vers $\ell=\sqrt{2+\ell}$ avec $\ell\in[1,2]$ : $\ell^2-\ell-2=0$ . Conclusion : $\ell=2$ .

Méthode / Automatismes

Gendarmes : trouver $a_n\leq u_n\leq b_n$ avec $\lim a_n=\lim b_n=\ell$ . Courant : majorer par $1/n^k$ (puissance) ou par une suite géométrique.
Suite monotone bornée : prouver la monotonie par signe de $v_{n+1}-v_n$ ou par induction ; exhiber un minorant/majorant explicite ; $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$ .
Passage à la limite dans $v_{n+1}=f(v_n)$ exige la continuité de $f$ . La passer à la limite sans le dire est une faute.
Forme indéterminée $\infty/\infty$ : factoriser par le terme dominant (ici $n^2$ au dénominateur).

Pièges classiques

Écrire « $(v_n)$ est croissante et bornée, donc $v_{n+1}\to\ell$ » sans mentionner le théorème de la convergence monotone. Oublier de vérifier que $f$ est continue avant de passer à la limite dans $v_{n+1}=f(v_n)$ . Prendre la solution négative de $\ell^2+2\ell-2=0$ sans vérifier son signe par rapport aux termes.

Variantes rencontrées : Suite bornée non monotone (sous-suites paires/impaires) ; théorème des suites adjacentes utilisé pour borner une limite.