C-CNombres complexes

Le quotient géomètre $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$

Idée directrice

Tout le chapitre tient dans une formule : $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ a pour module $\dfrac{AC}{AB}$ et pour argument l'angle $\big(\widehat{\vec{AB},\vec{AC}}\big)$ . Réel $\Rightarrow$ alignement ; imaginaire pur $\Rightarrow$ orthogonalité. L'exercice type (cf. épreuve 2020, session principale) fait étudier un tel quotient comme *fonction de $z$ * et en déduit des lieux.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« On pose $Z=\dfrac{z-a}{z-b}$ » ; « montrer que $Z$ est réel / imaginaire pur » ; « en déduire la nature du triangle ».

Sujet principal

Exercice 3 — dans l'esprit de l'épreuve 2020 (session principale)

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On considère les points $A(-1)$ et $B(3)$ . À tout $z\neq3$ on associe

Z=\frac{z+1}{z-3}.

Calculer $Z$ pour $z=1+2\i$ et écrire le résultat sous forme algébrique.
Interpréter géométriquement $|Z|$ et $\arg Z$ .
Déterminer l'ensemble $E_1$ des points $M(z)$ tels que $Z$ soit réel.
Déterminer l'ensemble $E_2$ des points $M(z)$ tels que $Z$ soit imaginaire pur.
Vérifier que le point $M_0(1+2\i)$ appartient à $E_2$ et retrouver ce résultat géométriquement.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a : $Z=\dfrac{(1+2\i)+1}{(1+2\i)-3}=\dfrac{2+2\i}{-2+2\i}$ . En multipliant par le conjugué du dénominateur, on obtient $Z=\dfrac{(2+2\i)(-2-2\i)}{(-2)^2+2^2}=\dfrac{-4-8\i-4\i^2}{8}=-\i$ .

2. On sait que $|Z|=\dfrac{MA}{MB}$ et $\arg Z\equiv\big(\widehat{\vec{MB},\vec{MA}}\big)\ [2\pi]$ (pour $M\neq A,B$ ).

3. $Z\in\R$ (avec $Z$ défini) si et seulement si $\arg Z\equiv 0\ [\pi]$ , d'où $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ colinéaires, par suite $M\in(AB)$ . Conclusion : $E_1=(AB)\setminus\{B\}$ ( $A$ y figure car $Z=0$ est réel).

4. $Z$ imaginaire pur non nul ssi $\arg Z\equiv\tfrac{\pi}{2}\ [\pi]$ , d'où $M$ voit $[AB]$ sous un angle droit. Conclusion : $E_2=$ cercle de diamètre $[AB]$ privé de $B$ (centre $I(1)$ , rayon $2$ ). *(Si l'on admet $Z=0$ , le point $A$ est à discuter : $0$ est à la fois réel et imaginaire pur.)*

5. $Z(1+2\i)=-\i$ est imaginaire pur, ce qui prouve que $M_0\in E_2$ . Géométriquement : $|1+2\i-1|=|2\i|=2$ , donc $M_0$ est sur le cercle de centre $I(1)$ et de rayon $2$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill C-C.1 — nature d'un triangle par un quotient

1 questionFigure fournieCorrigé masqué

$A,B,C$ ont pour affixes $z_A=1$ , $z_B=1+i$ , $z_C=2$ . Calculer $Z=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ et en déduire la nature du triangle $ABC$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On sait que $Z=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{2-1}{(1+i)-1}=\dfrac{1}{i}=-i$ . On en déduit que $|Z|=1$ donc $AC=AB$ , et $\arg Z=-\tfrac\pi2$ donc $(\vec{AB},\vec{AC})=-\tfrac\pi2$ . Par suite le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ .

Méthode / Automatismes

$A$ , $B$ , $C$ alignés $\iff \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\R$ ; \quad $(AB)\perp(AC)\iff \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in \i\R^*$ .
Triangle équilatéral direct : $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\e^{\i\pi/3}$ ; rectangle isocèle en $A$ : quotient $=\pm\i$ .
Pour rendre $Z$ algébrique : multiplier par le conjugué du dénominateur, ou poser $z=x+\i y$ si le lieu est demandé par équation cartésienne.

Pièges classiques

Oublier les points exclus ( $z\neq3$ ici) : la privation du cercle ou de la droite d'un point vaut systématiquement une fraction de point au barème. Confondre $\arg\equiv0\,[\pi]$ (réel) et $\arg\equiv0\,[2\pi]$ (réel positif).

Où ce scénario est tombé

Bac 2020 — session principale· Exercice 2 (complexes)attestéLe quotient (z_C−z_A)/(z_B−z_A) encode à lui seul distances relatives et angle.

Bac 2023 — session principale (couverture partielle)· Exercice 1 (complexes et géométrie)attestéRacine remarquable → factorisation → configuration de points.

Bac 2026 — session principale (probable · pas de PDF local 2026)· Géométrie et complexesattestéConfigurations via affixes (quotients, lieux).

Le quotient géomètre zC−zAzB−zA\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}zB​−zA​zC​−zA​​

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Où ce scénario est tombé

Le quotient géomètre $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$