Équation dans $\mathbb{C}$, module, argument et ensembles de points

1. On a : discriminant $\Delta=(1+i)^2+4i=1+2i-1+4i=6i$. Une racine carrée de $6i$ est $\sqrt{3}(1+i)$ (car $(\sqrt{3}(1+i))^2=3\cdot 2i=6i$). D'où $z=\dfrac{1+i\pm\sqrt{3}(1+i)}{2}$. Conclusion : $z_1=\dfrac{(1+\sqrt{3})(1+i)}{2}$ et $z_2=\dfrac{(1-\sqrt{3})(1+i)}{2}$ (à l'ordre près).

2. $z_1=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}(1+i)$. Module : $|z_1|=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\sqrt{2}$. Argument : $\arg(z_1)\equiv\arg(1+i)\equiv\dfrac{\pi}{4}\pmod{2\pi}$. Forme exponentielle : $z_1=|z_1|e^{i\pi/4}$.

3–4. $|Z|=1\Leftrightarrow |z+\mathrm{i}|=|z-1|\Leftrightarrow MB=MA$ (distances à $B(-\mathrm{i})$ et à $A(1)$). L'ensemble de points $M$ est la médiatrice du segment $[AB]$ : avec $A(1,0)$ et $B(0,-1)$, $(x-1)^2+y^2=x^2+(y+1)^2$ donne la droite d'équation $x+y=0$ (ni $A$ ni $B$ n'y appartient, aucun point n'est donc à exclure).

5. $\arg(Z)\equiv(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})\pmod{2\pi}$ (quotient $\dfrac{z_B-z_M}{z_A-z_M}$ à un signe près selon l'ordre des points). Ici $Z=\dfrac{z-(-i)}{z-1}$ encode l'angle en $M$.