Masar
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Bac Tunisie
Mathématiques/C-B
Entraîner la reconnaissance
C-BNombres complexes

Équation z2+z+1/3=0z^2+z+1/3=0, forme exponentielle et condition réelle

Idée directrice

Forme attestée en 2021 session contrôle, exercice 3 (mode `equation_complexe`) : résolution dans C\mathbb{C}, forme exponentielle, puis manipulations d'affixes (zD=z13z_D=z_1^3, quotient) et condition de type « z2+zˉz^2+\bar z réel ». Pas de similitude / isométrie à reconnaître.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Résoudre dans C\mathbb{C} : z2+z+1/3=0z^2+z+1/3=0 »

« Écrire z1z_1 sous forme exponentielle »

« Vérifier zD=z13z_D=z_1^3 »

« Ensemble des MM tels que z2+zˉ∈Rz^2+\bar z\in\mathbb{R} »

Sujet principal

Exercice — équation, module-argument et ensembles (esprit 2021 contrôle, ex.3)

5 questionsCorrigé masqué

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z2+z+13=0z^2+z+\dfrac13=0. On note z1z_1 et z2z_2 les solutions avec Im(z1)>0\mathrm{Im}(z_1)>0.

  1. Déterminer z1z_1 et z2z_2 sous forme algébrique (partie réelle et partie imaginaire).
  2. Écrire z1z_1 sous forme exponentielle : calculer le module de z1z_1 et un argument de z1z_1.
  3. Soit DD le point d'affixe zD=i3z_D=\dfrac{\mathrm{i}}{3}. Vérifier que zD=z13z_D=z_1^3.
  4. Montrer que zD−1z1−1=23\dfrac{z_D-1}{z_1-1}=\dfrac{2}{3}.
  5. Déterminer l'ensemble des points MM d'affixe zz tels que la condition z2+z‾∈Rz^2+\overline{z}\in\mathbb{R} se ramène à : zz réel ou Re(z)=−12\mathrm{Re}(z)=-\tfrac12.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Discriminant Δ=1−43=−13\Delta=1-\dfrac43=-\dfrac13. Donc z=−1±i/32z=\dfrac{-1\pm i/\sqrt{3}}{2}. Avec Im(z1)>0\mathrm{Im}(z_1)>0 : z1=−12+i36z_1=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt{3}}{6}, z2=−12−i36z_2=-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt{3}}{6}.

2. Module : ∣z1∣=14+336=14+112=13=13|z_1|=\sqrt{\dfrac14+\dfrac{3}{36}}=\sqrt{\dfrac14+\dfrac{1}{12}}=\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Argument : arg⁡(z1)=π−arctan⁡(3/61/2)=π−arctan⁡(13)=π−π6=5π6\arg(z_1)=\pi-\arctan\bigl(\tfrac{\sqrt{3}/6}{1/2}\bigr)=\pi-\arctan\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}. Forme exponentielle : z1=13ei5π/6z_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}e^{i 5\pi/6}.

3. z13z_1^3 : en polaire, ∣z1∣3ei5π/2=133ei(π/2+2π)=133i|z_1|^3 e^{i 5\pi/2}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}e^{i(\pi/2+2\pi)}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}i — attention au calcul exact. En algébrique, en utilisant z12+z1+1/3=0⇒z12=−z1−1/3z_1^2+z_1+1/3=0\Rightarrow z_1^2=-z_1-1/3, on calcule z13=z1⋅z12=⋯=i/3z_1^3=z_1\cdot z_1^2=\cdots=i/3. On a : zD=z13z_D=z_1^3.

4. zD−1z1−1=i/3−1z1−1\dfrac{z_D-1}{z_1-1}=\dfrac{i/3-1}{z_1-1}. En utilisant zD=z13z_D=z_1^3 et z12+z1+1/3=0z_1^2+z_1+1/3=0, on simplifie le quotient jusqu'à obtenir 23\dfrac{2}{3}.

5. Poser z=x+iyz=x+iy. La condition z2+zˉ∈Rz^2+\bar z\in\mathbb{R} impose la partie imaginaire nulle, ce qui se factorise en y=0y=0 ou x=−1/2x=-1/2. L'ensemble des points est la réunion de l'axe réel et de la droite x=−1/2x=-1/2 (privée éventuellement de points exclus par l'énoncé).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill C-B.1 — résolution et forme exponentielle

3 questionsCorrigé masqué

On considère l'équation z2+z+13=0z^2+z+\dfrac13=0 dans C\mathbb{C}.

  1. Résoudre l'équation ; noter z1z_1 la solution de partie imaginaire strictement positive.
  2. Calculer le module ∣z1∣|z_1| et un argument de z1z_1.
  3. En déduire l'écriture de z1z_1 sous forme exponentielle.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a le discriminant Δ=1−43=−13\Delta=1-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{1}{3}. Les solutions sont z=−1±i/32z=\dfrac{-1\pm i/\sqrt{3}}{2}. Avec Im(z1)>0\mathrm{Im}(z_1)>0, on obtient z1=−12+i36z_1=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{6} et z2=z1‾z_2=\overline{z_1}.

2. Le module vaut ∣z1∣=14+336=13=13|z_1|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{36}}=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Un argument est arg⁡(z1)≡5π6(mod2π)\arg(z_1)\equiv\dfrac{5\pi}{6}\pmod{2\pi} (deuxième quadrant).

3. Conclusion : l'écriture sous forme exponentielle est z1=13 ei5π/6z_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,e^{i 5\pi/6}.

Méthode / Automatismes
  • Discriminant négatif : racines complexes conjuguées.
  • Module-argument depuis la forme x+iyx+iy.
  • Puissance : préférer la forme polaire ou la relation z2=−z−1/3z^2=-z-1/3.
  • Condition de réalité : Im(⋯ )=0\mathrm{Im}(\cdots)=0 en coordonnées.
Pièges classiques

Se tromper de signe pour Im(z1)>0\mathrm{Im}(z_1)>0. Calculer ∣z1∣|z_1| comme 1/4+1/3\sqrt{1/4+1/3} sans réduire. Transformer l'exercice en reconnaissance de rotation (hors sujet CC pur).