C-DNombres complexes

Équation du second degré dans ℂ — z² − (1+i)z + i = 0

Idée directrice

Résoudre une équation du second degré dans $\mathbb{C}$ : calculer le discriminant $\Delta$ , en extraire une racine carrée complexe, puis appliquer les formules $z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« z² − (1 + i)z + i = 0 »

« 1 − i est une racine carrée de Δ »

« S = {1, i} »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

On travaille dans le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$ . Soit l'équation $z^2-(1+i)z+i=0$ (esprit bac Sciences de l'informatique 2018 principale). On cherchera les solutions $z\in\mathbb{C}$ (forme algébrique $a+bi$ ).

Calculer le discriminant $\Delta$ . Montrer que $\Delta=-2i=(1-i)^2$ et en déduire une racine carrée $\delta$ de $\Delta$ .
Résoudre l'équation. Vérifier que $z=1$ est une solution, puis donner l'ensemble des solutions dans $\mathbb{C}$ .
Interpréter géométriquement les points d'affixes solutions dans le plan complexe.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\Delta=(1+i)^2-4i=1+2i-1-4i=-2i$ . Or $(1-i)^2=1-2i+i^2=-2i$ , donc $\Delta=(1-i)^2$ et $\delta=1-i$ est une racine carrée de $\Delta$ (corrigé 2018).

2. $z=\dfrac{(1+i)\pm(1-i)}{2}$ .
- $+$ : $z=\dfrac{2}{2}=1$
- $-$ : $z=\dfrac{(1+i)-(1-i)}{2}=\dfrac{2i}{2}=i$

Donc $S_{\mathbb{C}}=\{1,i\}$ . On peut aussi remarquer que $z=1$ est solution apparente puis factoriser (corrigé 2018).

3. Points d'affixes $1$ (sur l'axe réel) et $i$ (sur l'axe imaginaire) ; module $1$ pour les deux ; arguments $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill C-D.1 — Équation z + 1/z = 1

1 questionCorrigé masqué

Dans $\mathbb{C}^*$ , montrer que $z+\dfrac{1}{z}=1$ est équivalente à $z^2-z+1=0$ . Calculer le discriminant $\Delta$ de cette équation du second degré en le nombre complexe $z$ , et donner une racine carrée de $\Delta$ sous forme imaginaire pure.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Multiplier par $z\neq 0$ : $z^2+1=z$ soit $z^2-z+1=0$ . $\Delta=1-4=-3=(i\sqrt{3})^2$ , donc $\delta=i\sqrt{3}$ est une racine carrée complexe (corrigé 2018). Les solutions $z=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$ sont des nombres complexes non réels (partie imaginaire non nulle).

Méthode / Automatismes

Pour $\sqrt{\Delta}$ dans $\mathbb{C}$ : chercher $a+bi$ tel que $(a+bi)^2=\Delta$ .
Toujours vérifier les racines dans l'équation.

Pièges classiques

Calculer $\Delta$ dans $\mathbb{R}$ seulement ; oublier les deux signes $\pm\delta$ .