C-ENombres complexes

Changement de variable Z = z + 1/z pour une équation

Idée directrice

Certaines équations en $z$ et $\dfrac1z$ se linéarisent par $Z=z+\dfrac1z$ (ou $Z=z+\overline{z}$ , etc.). On résout d'abord en $Z$ dans $\mathbb{C}$ , puis on revient à $z$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« On pose Z = z + … »

« $p(z) = 0 ⇔ Z² - (1+i)Z + i = 0 »$

« z + 1/z = 1 »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Dans le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$ , certaines équations se traitent par changement de variable $Z=z+\dfrac1z$ (esprit corrigé bac info 2018). On ramène $p(z)=0$ à une équation du second degré en le nombre complexe $Z$ , puis on revient aux affixes $z\in\mathbb{C}^*$ .

Résoudre $Z^2-(1+i)Z+i=0$ dans $\mathbb{C}$ (réutiliser le résultat $S=\{1,i\}$ ).
Résoudre ensuite $z+\dfrac1z=1$ et $z+\dfrac1z=i$ (avec $z\neq 0$ ). Indiquer la méthode (multiplication par $z$ ).
Combien de solutions $z$ obtient-on au total dans $\mathbb{C}^*$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Comme dans C-D / corrigé 2018 : $Z\in\{1,i\}$ .

2. $z+\frac1z=1$ ⇒ $z^2-z+1=0$ ; $z+\frac1z=i$ ⇒ $z^2-iz+1=0$ . Chaque équation du second degré fournit deux nombres complexes (discriminants $-3$ et $-5$ , corrigé 2018).

3. Quatre solutions dans $\mathbb{C}^*$ (corrigé : liste $S_{\mathbb{C}}$ à quatre éléments après les deux équations en $z$ ).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill C-E.1 — Discriminant −3

1 questionCorrigé masqué

Pour l'équation $z^2-z+1=0$ dans le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$ , vérifier que le discriminant vaut $-3$ et qu'une racine carrée complexe de $\Delta$ est $i\sqrt{3}$ . Écrire les deux solutions sous forme algébrique $a+bi$ (partie réelle et partie imaginaire), et préciser le module commun de ces deux affixes.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

$\Delta=1-4=-3=(i\sqrt{3})^2$ donc $\delta=i\sqrt{3}$ (corrigé bac info 2018). $z=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$ : deux nombres complexes d'affixes conjuguées, partie réelle $\frac12$ , partie imaginaire $\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Le module de chacune est $\sqrt{\frac14+\frac34}=1$ .

Méthode / Automatismes

Toujours justifier $z\neq 0$ avant de multiplier par $z$ .
Vérifier que les $z$ obtenus redonnent bien le $Z$ attendu.

Pièges classiques

Oublier une des deux équations $Z=1$ ou $Z=i$ ; compter $z=0$ .