LN-BFonctions logarithmes

Propriétés du ln, équations et inéquations logarithmiques

Idée directrice

L'exercice mobilise les propriétés algébriques de $\ln$ : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$ , $\ln(a^\alpha)=\alpha\ln a$ , ainsi que la stricte croissance de $\ln$ sur $]0;+\infty[$ . Résoudre une équation revient à isoler le logarithme (ou l'exponentielle) puis à appliquer la bijectivité ; pour une inéquation, bien penser à préserver le signe (puisque $\ln$ est croissante, $\ln u>\ln v\Leftrightarrow u>v$ pour $u,v>0$ ).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Résoudre dans $\R$ : $\ln(\cdots)+\ln(\cdots)=\ln(\cdots)$ » ; « En posant $t=\ln x$ , résoudre l'inéquation » ; « Résoudre l'équation $e^{2x}-\cdots e^x+\cdots=0$ ».

Sujet principal

Exercice 1 — logarithmes : calculs et résolution

5 questionsCorrigé masqué

Partie A — Calculs algébriques. En utilisant les propriétés du logarithme, écrire sous la forme $a\ln2+b\ln3$ (avec $a,b\in\mathbb{Q}$ ) :

$\ln\!\left(\dfrac{\sqrt{18}}{4}\right)$
$\ln(72)-\ln(8)$

Partie B — Équations et inéquations. Résoudre dans $\R$ (ou sur le domaine de définition approprié) :

$\ln(2x-1)+\ln(x+3)=\ln(10)$
$2(\ln x)^2-3\ln x+1\leq0$ (poser $t=\ln x$ ).
$e^{2x}-3e^x+2=0$ (poser $u=e^x$ ).

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A.1. On pose le développement : $\ln\!\left(\dfrac{\sqrt{18}}{4}\right)=\dfrac{1}{2}\ln18-\ln4=\dfrac{1}{2}(\ln2+2\ln3)-2\ln2$ . On obtient $-\dfrac{3}{2}\ln2+\ln3$ .

A.2. On a : $\ln(72)-\ln(8)=\ln\!\left(\dfrac{72}{8}\right)=\ln9=2\ln3$ . Conclusion : $2\ln3$ .

B.3. Conditions d'existence : $x>\dfrac12$ . On a : $\ln((2x-1)(x+3))=\ln10\Leftrightarrow(2x-1)(x+3)=10\Leftrightarrow2x^2+5x-13=0$ . $\Delta=129$ , racines $\dfrac{-5\pm\sqrt{129}}{4}$ . Seule $x=\dfrac{-5+\sqrt{129}}{4}>\dfrac12$ convient. Conclusion : les solutions de l'équation se réduisent à $x=\dfrac{-5+\sqrt{129}}{4}$ .

B.4. On pose $t=\ln x$ ( $x>0$ ) : $2t^2-3t+1\le0$ . Racines $t=\dfrac12$ et $t=1$ , d'où $\dfrac12\le\ln x\le1$ , soit $\sqrt{e}\le x\le e$ . Conclusion : $x\in[\sqrt{e}\,;e]$ .

B.5. On pose $u=e^x>0$ : $u^2-3u+2=0\Leftrightarrow(u-1)(u-2)=0$ . On obtient $u=1\Rightarrow x=0$ et $u=2\Rightarrow x=\ln2$ . Conclusion : les solutions de l'équation sont $x\in\{0\,;\ln2\}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 03

Drill LN-B.2 — limite en $0^+$ et forme indéterminée

1 questionCorrigé masqué

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ puis $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}$ .

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On a : $\dfrac{\ln(1+x)}{x}\to1$ quand $x\to0$ (nombre dérivé de $\ln$ en $1$ , ou limite usuelle). On pose $X=x-1\to0$ pour la seconde : $\dfrac{\ln(1+X)}{X}\to1$ . On obtient les deux limites égales à $1$ .

Entraînement 02 / 03

Drill LN-B.3 — inéquation

1 questionCorrigé masqué

Résoudre $\ln(2x-3)\le0$ .

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On pose le domaine $x>\tfrac32$ . On a : $\ln(2x-3)\le0=\ln1\Leftrightarrow0<2x-3\le1\Leftrightarrow\tfrac32<x\le2$ . On obtient $x\in\,]\tfrac32,2]$ . Conclusion : l'ensemble des solutions est $]\tfrac32,2]$ .

Entraînement 03 / 03

Drill LN-B.4 — équation logarithmique

1 questionCorrigé masqué

Résoudre dans $\R$ : $\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln(4)$ .

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On pose le domaine $x>1$ . On a : $\ln((x-1)(x+2))=\ln4\Rightarrow x^2+x-2=4\Rightarrow x^2+x-6=0$ . On obtient $x=2$ ou $x=-3$ ; seul $x=2>1$ convient. Conclusion : les solutions de l'équation se réduisent à $x=2$ .

Méthode / Automatismes

Conditions d'existence : vérifier $x>0$ (ou les arguments de chaque $\ln$ ) avant de résoudre. Les solutions hors domaine sont rejetées.
**Somme de $\ln$ ** : $\ln A+\ln B=\ln(AB)$ , utilisé pour regrouper avant d'appliquer la bijectivité de $\ln$ .
Inéquations : $\ln$ est croissante, donc $\ln u\leq\ln v\Leftrightarrow u\leq v$ (pour $u,v>0$ ). Ne jamais perdre la condition $>0$ .
Substitution : $t=\ln x$ ou $u=e^x$ ramène les équations transcendantes à des polynômes de degré $2$ .

Pièges classiques

Omettre les conditions d'existence (rejeter les solutions rendant un argument $\leq0$ ). Écrire $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ (faux — pas de propriété additive de $\ln$ ). Oublier de revenir à $x$ après substitution ( $u=e^x\Rightarrow x=\ln u$ , pas $x=u$ ).

Variantes rencontrées : Équations de la forme $a(\ln x)^2+b\ln x+c=0$ avec trois solutions (discriminant nul) ; inéquations $\ln f(x)>k$ avec étude du signe de $f(x)-e^k$ .