LN-CFonctions logarithmes

Étude d'une fonction avec ln : variations, limites, tracé

Idée directrice

L'exercice demande l'étude complète d'une fonction de la forme $f(x)=P(x)\ln(Q(x))$ ou $f(x)=(ax+b)\ln(cx+d)$ . Le protocole est : domaine de définition (positiver l'argument du $\ln$ ), limites aux bornes du domaine (croissances comparées si besoin), dérivée (règle du produit + $(\ln u)'=u'/u$ ), tableau de variations, signe de $f$ , représentation graphique avec tangentes remarquables.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Étudier les variations de $f(x)=(\cdots)\ln x$ » ; « Montrer que $f(x)\geq0$ pour tout $x>0$ » ; « Dresser le tableau de variations et préciser le minimum ».

Sujet principal

Exercice 2 — étude complète de $f(x)=(x-1)\ln x$

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f(x)=(x-1)\ln x$ définie sur $]0;+\infty[$ .

Calculer $\lim_{x\to0^+}f(x)$ (on admettra que $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$ ) et $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .
Calculer $f'(x)$ pour tout $x>0$ et déterminer son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser le minimum de $f$ .
Montrer que $f(x)\geq0$ pour tout $x>0$ (on pourra utiliser le tableau de variations).
Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\lim_{x\to0^+}f(x)$ : $f(x)=x\ln x-\ln x$ , avec $x\ln x\to0$ (admis) et $-\ln x\to+\infty$ , d'où $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ : la droite $x=0$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$ . Pour $x\to+\infty$ : $f(x)=(x-1)\ln x\to+\infty$ (pas d'asymptote horizontale).

2. $f'(x)=\ln x+(x-1)\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1-\dfrac{1}{x}$ . Soit $g(x)=\ln x+1-\dfrac{1}{x}$ ; $g'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x+1}{x^2}>0$ , donc $g$ est croissante et $g(1)=0$ . Ainsi $f'(x)<0$ sur $]0;1[$ et $f'(x)>0$ sur $]1;+\infty[$ : $f$ est décroissante sur $]0;1]$ et $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$ .

3. Tableau de variation de $f$ : minimum en $x=1$ avec $f(1)=0$ . Le minimum de $f$ est $0$ , donc $f(x)\ge0$ pour tout $x>0$ , avec égalité uniquement en $x=1$ .

4. $f(1)=0$ et $f'(1)=0$ : la tangente en $(1,0)$ est horizontale, d'équation $y=0$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill LN-C.1 — étude et tangente

2 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0,+\infty[$ .

Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Équation de la tangente en $x=1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ . Asymptote verticale $x=0$ ( $f\to-\infty$ en $0^+$ ) ; asymptote horizontale $y=0$ en $+\infty$ . $f$ est croissante sur $]0,e]$ et $f$ est décroissante sur $[e,+\infty[$ ; max $f(e)=\tfrac1e$ . Tableau de variation de $f$ .

2. Tangente en $x=1$ : $y=x-1$ .

Méthode / Automatismes

Domaine : argument du $\ln$ strictement positif. Toujours commencer par $Q(x)>0$ .
Dérivée d'un produit : $(u\cdot v)'=u'v+uv'$ avec $v=\ln x\Rightarrow v'=1/x$ . Ne pas oublier le terme $1/x$ .
**Signe de $f'$ ** : si $f'$ n'est pas factorisable directement, étudier sa propre dérivée pour montrer sa monotonie, puis localiser son zéro (en général simple).
**Inégalité $f(x)\geq0$ ** : déduire du tableau (minimum = $0$ ) — pas besoin de majoration supplémentaire.

Pièges classiques

Oublier d'exclure $x=0$ du domaine (le $\ln$ n'y est pas défini). Négliger le terme $1/x$ dans la dérivée du $\ln$ . Conclure que $f(x)\geq0$ sans justifier (le minimum vaut $0$ et c'est un minimum global).

Variantes rencontrées : Fonctions $x\mapsto\ln(x^2+1)$ , $x\mapsto\dfrac{\ln x}{x}$ (asymptote oblique / horizontale), $x\mapsto x-\ln x$ (inégalité $\ln x\leq x-1$ ).