Masar
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Bac Tunisie
Mathématiques/LN-D
Entraîner la reconnaissance
LN-DFonctions logarithmes

Limites et croissances comparées, lim⁡xln⁡x\lim x\ln x, primitives avec ln⁡\ln

Idée directrice

Les croissances comparées expriment que ln⁡\ln croît plus lentement que toute puissance : lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}=0 pour α>0\alpha>0, et lim⁡x→0+xαln⁡x=0\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0 pour α>0\alpha>0 (le terme polynomial « écrase » le logarithme). Ces limites servent à lever des formes indéterminées ∞−∞\infty-\infty ou 0×(−∞)0\times(-\infty). Les primitives faisant intervenir ln⁡\ln se ramènent à ∫u′udx=ln⁡∣u∣+C\int\dfrac{u'}{u}dx=\ln|u|+C ou à une intégration par parties avec v′=1v'=1, u=ln⁡xu=\ln x.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« En utilisant les croissances comparées, calculer lim⁡x→+∞(ln⁡x)nxα\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^n}{x^\alpha} » ; « Calculer ∫1exln⁡x dx\int_1^e x\ln x\,dx par intégration par parties » ; « Montrer que lim⁡x→0+x2ln⁡x=0\lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0 ».

Sujet principal

Exercice 3 — croissances comparées et calcul intégral

6 questionsCorrigé masqué

Partie A — Limites.

  1. Calculer lim⁡x→+∞(ln⁡x)3x\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^3}{\sqrt{x}}.
  2. Calculer lim⁡x→0+x2ln⁡(x2)\lim_{x\to0^+}x^2\ln(x^2).
  3. Calculer lim⁡x→+∞(x−ln⁡x)\lim_{x\to+\infty}\left(x-\ln x\right).

Partie B — Primitives. Calculer les intégrales suivantes.

  1. ∫1exln⁡x dx\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx (intégration par parties).
  2. ∫1eln⁡xx dx\displaystyle\int_1^e\dfrac{\ln x}{x}\,dx (substitution u=ln⁡xu=\ln x).
  3. ∫132x+1x2+x−2 dx\displaystyle\int_1^3\dfrac{2x+1}{x^2+x-2}\,dx (on vérifiera d'abord que 2x+1=(x2+x−2)′2x+1=(x^2+x-2)').
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

A.1. On pose t=xt=\sqrt{x}, donc x=t2x=t^2 et x→+∞⇔t→+∞x\to+\infty\Leftrightarrow t\to+\infty. (ln⁡x)3x=(2ln⁡t)3t=8(ln⁡t)3t→0\dfrac{(\ln x)^3}{\sqrt{x}}=\dfrac{(2\ln t)^3}{t}=\dfrac{8(\ln t)^3}{t}\to0 par croissances comparées. On obtient la limite 00.

A.2. On a : x2ln⁡(x2)=2x2ln⁡xx^2\ln(x^2)=2x^2\ln x. Par croissances comparées (α=2>0\alpha=2>0), lim⁡x→0+x2∣ln⁡x∣=0\lim_{x\to0^+}x^2|\ln x|=0, d'où lim⁡x→0+2x2ln⁡x=0\lim_{x\to0^+}2x^2\ln x=0.

A.3. x−ln⁡x=x(1−ln⁡xx)→+∞x-\ln x = x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)\to+\infty car ln⁡xx→0\dfrac{\ln x}{x}\to0. Or le facteur 1−ln⁡xx→1>01-\dfrac{\ln x}{x}\to1>0.

B.4. On intègre par parties : u=ln⁡x⇒u′=1/xu=\ln x\Rightarrow u'=1/x ; v′=x⇒v=x2/2v'=x\Rightarrow v=x^2/2. ∫1exln⁡x dx=[x22ln⁡x]1e−12∫1ex dx=e22−0−12[x22]1e=e22−e2−14=e2+14\int_1^e x\ln x\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\dfrac{1}{2}\int_1^e x\,dx=\dfrac{e^2}{2}-0-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^e=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2-1}{4}=\dfrac{e^2+1}{4}. Conclusion : e2+14\dfrac{e^2+1}{4}.

B.5. On pose u=ln⁡xu=\ln x, du=dx/xdu=dx/x : ∫1eln⁡xxdx=∫01u du=[u22]01=12\int_1^e\dfrac{\ln x}{x}dx=\int_0^1 u\,du=\left[\dfrac{u^2}{2}\right]_0^1=\dfrac12. Conclusion : 12\dfrac12.

B.6. (x2+x−2)′=2x+1(x^2+x-2)'=2x+1, mais x2+x−2=(x−1)(x+2)x^2+x-2=(x-1)(x+2) s'annule en x=1x=1 : l'intégrande a une singularité en x=1x=1, ce qui prouve que l'intégrale diverge sur [1,3][1,3].

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill LN-D.1 — croissances comparées

1 questionCorrigé masqué

Calculer lim⁡x→+∞ln⁡xx\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{\sqrt x} et lim⁡x→0+xln⁡x\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose t=xt=\sqrt x : ln⁡xx=2⋅ln⁡tt→0\dfrac{\ln x}{\sqrt x}=2\cdot\dfrac{\ln t}{t}\to0 par croissances comparées. On a : xln⁡x→0x\ln x\to0 (limite usuelle en 0+0^+). On obtient les deux limites nulles. Conclusion : les limites valent 00 et 00.

Méthode / Automatismes
  • Croissances comparées : (ln⁡x)nxα→0\dfrac{(\ln x)^n}{x^\alpha}\to0 et xα∣ln⁡x∣→0x^\alpha|\ln x|\to0 quand x→+∞x\to+\infty ou x→0+x\to0^+ (respectivement), pour α>0\alpha>0 et n∈Nn\in\N.
  • IPP pour ∫P(x)ln⁡x dx\int P(x)\ln x\,dx : choisir u=ln⁡xu=\ln x et v′=P(x)v'=P(x). Le terme intégré [uv][uv] fait disparaître le ln⁡\ln.
  • **Intégrale du type ∫u′u\int\dfrac{u'}{u}** : reconnaître (ln⁡∣u∣)′=u′/u(\ln|u|)'=u'/u pour intégrer immédiatement.
  • Avant toute intégrale : vérifier que la fonction est continue sur le segment d'intégration (pas de zéros du dénominateur à l'intérieur).
Pièges classiques

Utiliser lim⁡xln⁡x=0\lim x\ln x=0 sans vérifier que c'est en x→0+x\to0^+ et pas en x→+∞x\to+\infty (où la limite est +∞+\infty). Pour l'IPP, choisir u=xu=x et v′=ln⁡xv'=\ln x au lieu de u=ln⁡xu=\ln x et v′=xv'=x (ce qui mène à ∫x22⋅1x\int\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x} — faisable, mais beaucoup plus long). Intégrer 1/(x2+x−2)1/(x^2+x-2) sur un intervalle contenant ses pôles sans tester la convergence.

Variantes rencontrées : Calcul de ∫1e(ln⁡x)2 dx\int_1^e (\ln x)^2\,dx par deux IPP successives ; primitives de xnln⁡xx^n\ln x (généralisation directe) ; limites en 0+0^+ de xα(ln⁡x)nx^\alpha(\ln x)^n.