Étude complète d'une fonction (ln, exp, composée)

1. En $0^+$ : $\ln x\to-\infty$ donc $-\ln x\to+\infty$ et $x-1\to-1$, d'où $f(x)\to+\infty$ : la droite $x=0$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$. En $+\infty$ : croissances comparées $\dfrac{\ln x}{x}\to0$, donc $f(x)=x\big(1-\tfrac1x-\tfrac{\ln x}{x}\big)\to+\infty$ (pas d'asymptote horizontale).

2. $f'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}{x}$. Sur $]0,+\infty[$, $f'<0$ sur $]0,1[$ donc $f$ est décroissante sur $]0,1]$ ; $f'>0$ sur $]1,+\infty[$ donc $f$ est croissante sur $[1,+\infty[$. Minimum en $x=1$ avec $f(1)=0$. Tableau de variation de $f$ : $f\to+\infty$ en $0^+$, décroît jusqu'à $0$ en $1$, puis croît vers $+\infty$.

3. Le minimum de $f$ vaut $0$, atteint seulement en $1$ : donc $f(x)\ge0$ pour tout $x>0$, soit $\ln x\le x-1$, avec égalité ssi $x=1$.

4. $\dfrac{f(x)}{x}\to1$ et $f(x)-x=-1-\ln x\to-\infty$ : branche parabolique de direction $y=x$ (pas d'asymptote affine).