Masar — Ton parcours vers le Bac

Probabilités et suites (le scénario créatif)

Idée directrice

Une expérience se répète et l'on suit une probabilité $p_n$ à l'étape $n$ . Un arbre reliant l'étape $n$ à l'étape $n+1$ fournit une relation $p_{n+1}=a\,p_n+b$ : c'est une suite arithmético-géométrique, dont on trouve le point fixe $\ell=\frac{b}{1-a}$ , puis on montre que $(p_n-\ell)$ est géométrique. Pont direct avec le chapitre des suites.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« On note $p_n$ la probabilité de… au $n$ -ième jour/tirage » ; « montrer que $p_{n+1}=a\,p_n+b$ ».

Sujet principal

Exercice 6 — déplacement aléatoire entre deux états

3 questionsCorrigé masqué

Un mobile est chaque jour dans l'état $A$ ou $B$ . S'il est en $A$ un jour, il y reste le lendemain avec probabilité $0{,}8$ . S'il est en $B$ , il passe en $A$ le lendemain avec probabilité $0{,}3$ . On note $p_n=\pr(\text{être en }A\text{ le jour }n)$ , avec $p_0=1$ .

À l'aide d'un arbre, montrer que $p_{n+1}=0{,}5\,p_n+0{,}3$ .
Déterminer le réel $\ell$ tel que $\ell=0{,}5\,\ell+0{,}3$ , puis montrer que $(p_n-\ell)$ est géométrique.
En déduire $p_n$ en fonction de $n$ , puis $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a : le jour $n$ , être en $A$ (probabilité $p_n$ ) ou en $B$ (probabilité $1-p_n$ ). On pose $p_{n+1}=0{,}8\,p_n+0{,}3\,(1-p_n)$ . On obtient $p_{n+1}=0{,}5\,p_n+0{,}3$ .

2. On pose $\ell$ la limite éventuelle : $\ell=0{,}5\ell+0{,}3$ , d'où $\ell=0{,}6$ . Soit $v_n=p_n-0{,}6$ . On a : $v_{n+1}=p_{n+1}-0{,}6=0{,}5\,p_n+0{,}3-0{,}6=0{,}5\,v_n$ . Or $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $v_0=p_0-0{,}6=0{,}4$ , par suite $v_n=0{,}4\times(0{,}5)^n$ .

3. On a : $p_n=0{,}6+0{,}4\,(0{,}5)^n$ . Comme $(0{,}5)^n\to0$ , on obtient $\lim p_n=0{,}6$ . Conclusion : $\lim_{n\to+\infty}p_n=0{,}6$ (régime stationnaire indépendant de l'état initial).

Méthode / Automatismes

Relation $p_{n+1}=a\,p_n+b$ : la lire sur un arbre reliant l'étape $n$ à $n+1$ (probabilités totales).
Arithmético-géométrique : point fixe $\ell=\frac{b}{1-a}$ , puis $v_n=p_n-\ell$ géométrique de raison $a$ .
$p_n=\ell+(p_0-\ell)a^n$ ; si $|a|<1$ , $\lim p_n=\ell$ (régime stationnaire, indépendant de $p_0$ ).
Vérifier la cohérence : $0\leq p_n\leq1$ pour tout $n$ .

Pièges classiques

Écrire la relation $p_{n+1}=ap_n+b$ sans lire correctement l'arbre. Oublier de résoudre la suite arithmético-géométrique (point fixe puis géométrique). Confondre $p_n$ et une fréquence empirique.