Masar — Ton parcours vers le Bac

Lois continues : uniforme et exponentielle

Idée directrice

Le temps ou une mesure continue est modélisé par une variable $X$ à densité. Pour la loi exponentielle (durée de vie), $\pr(X\leq t)=1-\e^{-\lambda t}$ ; elle est « sans vieillissement » : $\pr_{X>s}(X>s+t)=\pr(X>t)$ . On calcule des probabilités par intégration de la densité, et $\esp(X)=\frac1\lambda$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« La durée de vie suit une loi exponentielle » ; « sachant que l'appareil fonctionne depuis… ».

Sujet principal

Exercice 5 — durée de vie d'un composant

4 questionsCorrigé masqué

La durée de vie $X$ (en années) d'un composant suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ . On sait que $\pr(X\leq5)=0{,}5$ .

Déterminer $\lambda$ .
Calculer $\pr(X>8)$ .
Le composant fonctionne depuis $3$ ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore $5$ ans ? Commenter.
Rappeler et interpréter $\esp(X)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a : $\pr(X\leq5)=1-\e^{-5\lambda}=0{,}5$ , soit $\e^{-5\lambda}=0{,}5$ . On obtient $-5\lambda=\ln(0{,}5)$ , d'où $\lambda=\dfrac{\ln 2}{5}$ .

2. On pose $\pr(X>8)=\e^{-8\lambda}=\e^{-8\ln2/5}=2^{-8/5}$ . On a : $2^{-8/5}\approx0{,}329$ . Conclusion : $\pr(X>8)=2^{-8/5}\approx0{,}329$ .

3. On sait que la loi exponentielle est sans mémoire. On calcule $\pr_{X>3}(X>8)=\dfrac{\pr(X>8)}{\pr(X>3)}=\dfrac{\e^{-8\lambda}}{\e^{-3\lambda}}=\e^{-5\lambda}=\pr(X>5)=0{,}5$ . Or cette égalité ne dépend pas de l'âge déjà atteint, par suite le composant « déjà âgé de 3 ans » a la même probabilité de tenir 5 ans de plus qu'un composant neuf. Conclusion : $\pr_{X>3}(X>8)=0{,}5$ (absence de vieillissement).

4. On a : $\esp(X)=\dfrac1\lambda=\dfrac{5}{\ln2}\approx7{,}21$ ans. Conclusion : l'espérance de durée de vie vaut $\dfrac{5}{\ln2}$ années.

Méthode / Automatismes

Loi exponentielle : $\pr(X\leq t)=1-\e^{-\lambda t}$ , $\pr(X>t)=\e^{-\lambda t}$ , $\esp(X)=\frac1\lambda$ .
Sans vieillissement : $\pr_{X>s}(X>s+t)=\pr(X>t)$ — reconnaître le signal « fonctionne déjà depuis… ».
Loi uniforme sur $[a,b]$ : densité $\frac{1}{b-a}$ , $\pr(c\leq X\leq d)=\frac{d-c}{b-a}$ , $\esp(X)=\frac{a+b}2$ .
Densité $f$ : $\pr(a\leq X\leq b)=\int_a^b f$ , $\esp(X)=\int x f(x)\,\dd x$ (calcul souvent par IPP).

Pièges classiques

Traiter une densité comme une masse discrète (oublier d'intégrer). Pour l'exponentielle, oublier l'absence de mémoire $\pr(X>s+t\mid X>s)=\pr(X>t)$ . Confondre paramètre $\lambda$ et espérance $1/\lambda$ .