P-DDénombrement et probabilités

Loi binomiale (schéma de Bernoulli répété)

Idée directrice

Dès qu'une même épreuve à deux issues (succès/échec) est répétée $n$ fois de façon indépendante et identique (tirage avec remise, ou grande population), le nombre de succès $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ . On calcule alors « exactement $k$  » par $\binom nk p^k q^{n-k}$ , et « au moins un » par l'événement contraire $1-\pr(X=0)$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« On répète $n$ fois, de façon indépendante… » ; « au moins un » ; « déterminer le plus petit $n$ tel que… ».

Sujet principal

Exercice 4 — contrôle qualité

3 questionsCorrigé masqué

Une chaîne produit des pièces dont $5\%$ sont défectueuses. On prélève, avec remise, un échantillon de $n=10$ pièces. Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
Calculer $\pr(X=0)$ et $\pr(X\geq1)$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel $\pr(X\geq1)\geq0{,}9$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a : chaque prélèvement a deux issues (défectueuse avec $p=0{,}05$ ou non), les tirages sont avec remise donc indépendants et identiques, répétés $n=10$ fois. Conclusion : $X\sim\mathcal{B}(10,\,0{,}05)$ .

2. On pose $\pr(X=0)=\binom{10}{0}(0{,}05)^0(0{,}95)^{10}=(0{,}95)^{10}\approx0{,}599$ . On a : $\pr(X\geq1)=1-\pr(X=0)\approx1-0{,}599=0{,}401$ . On obtient $\pr(X\geq1)\approx0{,}401$ . Conclusion : $\pr(X=0)\approx0{,}599$ et $\pr(X\geq1)\approx0{,}401$ .

3. On sait que $\pr(X\geq1)=1-(0{,}95)^n$ . On résout $1-(0{,}95)^n\geq0{,}9$ , soit $(0{,}95)^n\leq0{,}1$ . Or $\ln(0{,}95)<0$ , par suite en divisant on renverse l'inégalité : $n\geq\dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}95)}\approx44{,}9$ . Conclusion : le plus petit entier est $n=45$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill P-D.1 — loi binomiale

1 questionCorrigé masqué

On lance $5$ fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de piles. Calculer $P(X=2)$ et $P(X\ge1)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Soit $X$ le nombre de piles. On pose $X\sim\mathcal{B}\left(5,\tfrac12\right)$ . On a : $P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\tfrac12\right)^5=\dfrac{10}{32}=\tfrac5{16}$ et $P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\tfrac1{32}=\tfrac{31}{32}$ . On obtient ces deux valeurs. Conclusion : $P(X=2)=\dfrac{5}{16}$ et $P(X\ge1)=\dfrac{31}{32}$ .

Méthode / Automatismes

Reconnaître $\mathcal{B}(n,p)$ : deux issues, épreuves *indépendantes, identiques, répétées $n$ fois*. Le « avec remise » est le signal.
$\pr(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ ; $\esp(X)=np$ ; $\mathrm{V}(X)=np(1-p)$ .
« Au moins un succès » : passer au contraire $1-\pr(X=0)=1-(1-p)^n$ .
Seuil sur $n$ : inéquation $\to$ logarithme ; attention au sens de l'inégalité (on divise par $\ln(1-p)<0$ ).

Pièges classiques

Appliquer la binomiale à un tirage sans remise (les épreuves ne sont plus indépendantes : c'est une loi hypergéométrique, hors schéma). Oublier de renverser l'inégalité en divisant par un logarithme négatif. Confondre « exactement un » ( $\binom n1 p q^{n-1}$ ) et « au moins un » ( $1-q^n$ ).