P-CDénombrement et probabilités

Variable aléatoire discrète : loi, espérance, variance

Idée directrice

On associe à l'expérience un nombre $X$ (un gain, un nombre de succès). On dénombre les valeurs possibles, on calcule la probabilité de chacune (la loi), puis l'espérance $\esp(X)=\sum x_i\,\pr(X=x_i)$ . Un jeu est « équitable » si $\esp(X)=0$ , « favorable » si $\esp(X)>0$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Soit $X$ le gain algébrique » ; « déterminer la loi de $X$ » ; « le jeu est-il équitable ? ».

Sujet principal

Exercice 3 — gain à un jeu

3 questionsCorrigé masqué

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules noires. On tire simultanément $2$ boules. Le joueur gagne $3$ DT par boule rouge tirée et perd $2$ DT par boule noire. Soit $X$ le gain algébrique.

Déterminer les valeurs prises par $X$ .
Établir la loi de probabilité de $X$ .
Calculer $\esp(X)$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?

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1. On a : deux boules parmi $\{2R,\,1R1N,\,2N\}$ . Les gains sont $+6$ (deux rouges), $+1$ (une rouge et une noire) et $-4$ (deux noires). Conclusion : $X\in\{-4,\,1,\,6\}$ .

2. On pose l'univers des tirages équiprobables : $\binom{5}{2}=10$ . On a : $\pr(X=6)=\dfrac{\binom{3}{2}}{10}=\dfrac{3}{10}$ , $\pr(X=1)=\dfrac{\binom{3}{1}\binom{2}{1}}{10}=\dfrac{6}{10}$ , $\pr(X=-4)=\dfrac{\binom{2}{2}}{10}=\dfrac{1}{10}$ . On obtient $\tfrac3{10}+\tfrac6{10}+\tfrac1{10}=1$ (contrôle).

3. On calcule $\esp(X)=-4\cdot\tfrac1{10}+1\cdot\tfrac6{10}+6\cdot\tfrac3{10}=\dfrac{20}{10}=2$ . Or $\esp(X)=2>0$ , par suite le jeu est favorable au joueur. Conclusion : $\esp(X)=2$ et le jeu est favorable au joueur.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill P-C.1 — espérance d'un jeu

1 questionCorrigé masqué

Un jeu coûte $2$ D. On lance un dé équilibré : on gagne $6$ D si l'on obtient $6$ , rien sinon. Soit $X$ le gain algébrique. Calculer $\esp(X)$ et conclure sur l'équité.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Soit $X$ le gain algébrique. On pose $X=4$ avec proba $\tfrac16$ et $X=-2$ avec proba $\tfrac56$ . On a : $\esp(X)=4\cdot\tfrac16+(-2)\cdot\tfrac56=\tfrac{4}{6}-\tfrac{10}{6}=-1$ . On obtient $\esp(X)=-1<0$ . Conclusion : $\esp(X)=-1$ D et le jeu est défavorable au joueur.

Méthode / Automatismes

Tirage simultané de $k$ parmi $n$ : univers $\binom nk$ , dénombrer les cas favorables par des $\binom{\cdot}{\cdot}$ .
Loi de $X$ : tableau valeurs/probabilités ; *contrôler que la somme vaut $1$ *.
$\esp(X)=\sum x_i\pr(X=x_i)$ ; $\mathrm{V}(X)=\esp(X^2)-\esp(X)^2$ ; $\sigma(X)=\sqrt{\mathrm{V}(X)}$ .
Jeu équitable $\iff\esp(X)=0$ ; favorable $\iff\esp(X)>0$ . Un paramètre (mise) se règle en résolvant $\esp=0$ .

Pièges classiques

Sommer des probabilités sans vérifier $\sum p_i=1$ . Calculer $\esp(X^2)$ pour la variance en oubliant $\mathrm{Var}(X)=\esp(X^2)-\esp(X)^2$ . Mélanger loi de $X$ et événements de l'arbre.