P-BDénombrement et probabilités

Inversion de conditionnement (formule de Bayes)

Idée directrice

La question « renverse la flèche » : on connaît $\pr_A(D)$ (effet sachant la cause) et l'on demande $\pr_D(A)$ (cause sachant l'effet). On revient à la définition $\pr_D(A)=\frac{\pr(A\cap D)}{\pr(D)}$ , le numérateur étant un chemin de l'arbre et le dénominateur la probabilité totale calculée juste avant.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Sachant que…, quelle est la probabilité que… » dans le sens inverse des données.

Sujet principal

Exercice 2 — suite de l'exercice 1

2 questionsCorrigé masqué

On reprend les données de l'exercice 1 ( $\pr(D)=0{,}036$ ).

Une pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'atelier $A$ ?
Interpréter : l'atelier $A$ est-il « responsable » de la majorité des défauts ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. D'après l'exercice précédent, on sait que $\pr(A\cap D)=0{,}024$ et $\pr(D)=0{,}036$ . On en déduit que $\pr_D(A)=\dfrac{\pr(A\cap D)}{\pr(D)}=\dfrac{0{,}024}{0{,}036}=\dfrac{2}{3}$ . Conclusion : $\pr_D(A)=\dfrac{2}{3}$ .

2. D'après le résultat $\pr_D(A)=\tfrac23$ , environ deux tiers des pièces défectueuses proviennent de $A$ . On en déduit que $A$ est majoritairement responsable des défauts observés, ce qui est cohérent car $A$ produit davantage (60 %) avec un taux de défaut supérieur (4 % contre 3 %). Conclusion : $A$ est à l'origine de la majorité des défauts, sans confondre $\pr_A(D)$ et $\pr_D(A)$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill P-B.1 — formule de Bayes

1 questionCorrigé masqué

Avec les données du drill P-A.1, sachant que la boule tirée est rouge, quelle est la probabilité qu'elle vienne de $U_1$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

D'après P-A.1, on sait que $P(U_1\cap R)=\tfrac3{10}$ et $P(R)=\tfrac25$ . On en déduit que $P_R(U_1)=\dfrac{3/10}{2/5}=\tfrac34$ . Conclusion : $P_R(U_1)=\dfrac{3}{4}$ .

Méthode / Automatismes

Formule de Bayes : $\pr_D(A_i)=\dfrac{\pr(A_i)\pr_{A_i}(D)}{\sum_j \pr(A_j)\pr_{A_j}(D)}$ ; le dénominateur est la probabilité totale.
Ordre de travail : (1) chemins, (2) probabilité totale $\pr(D)$ , (3) inversion. Chaque étape nourrit la suivante.
Toujours écrire la définition $\pr_D(A)=\frac{\pr(A\cap D)}{\pr(D)}$ avant de remplacer par les nombres.

Pièges classiques

Le piège central du chapitre : croire que $\pr_D(A)=\pr_A(D)$ . « Taux de défaut de $A$  » $\neq$ « part de $A$ parmi les défectueux ». Diviser par $\pr(A)$ au lieu de $\pr(D)$ .