ED-EÉquations différentielles

Équation $y'=-\frac14 y+\frac12$ : solution générale et applications numériques

Idée directrice

Deuxième scénario ancré sur le même corrigé SE contrôle 2017 mais centré sur la résolution explicite de $y'=-\frac14 y+\frac12$ , la solution générale, la condition initiale, et les questions d'application $h(3)$ et $h(t)>1{,}98$ (sans repasser par le calcul de l'aire pour trouver $a$ ).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $y'=-\frac14 y+\frac12$ »

« Solution générale $y=C e^{-t/4}+2$ »

« Condition initiale $f(0)=0$ »

« $h(3)\approx 1{,}05$ m »

Sujet principal

Exercice — résolution de $y'=-\frac14 y+\frac12$ (esprit SE contrôle 2017)

5 questionsCorrigé masqué

On considère l'équation différentielle $(E):\ y'=-\dfrac14 y+\dfrac12$ sur $\mathbb{R}$ .

Vérifier qu'une solution particulière constante de $(E)$ est $y_p=2$ .
Résoudre l'équation homogène $y'=-\frac14 y$ et en déduire la solution générale de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0)=0$ .
On pose $h(t)=f(t)$ avec $t$ en semaines et $h(t)$ en mètres. Calculer $h(3)$ et interpréter le résultat (hauteur d'une plante).
Résoudre dans $\mathbb{R}_+$ l'inéquation $h(t)>1{,}98$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Si $y_p=2$ (constante), $y_p'=0$ et $-\frac14\cdot 2+\frac12=0$ : $y_p$ est solution particulière de $(E)$ .

2. Homogène : $y=Ce^{-t/4}$ . Solution générale de $(E)$ : $y(t)=Ce^{-t/4}+2$ .

3. $f(0)=0\Rightarrow C+2=0\Rightarrow C=-2$ , donc $f(t)=2-2e^{-t/4}$ .

4. $h(3)=2-2e^{-3/4}\approx 1{,}05$ m : hauteur d'environ $1{,}05$ m au bout de trois semaines.

5. $2-2e^{-t/4}>1{,}98\Leftrightarrow e^{-t/4}<0{,}01\Leftrightarrow -\frac t4<\ln 0{,}01\Leftrightarrow t>-4\ln 0{,}01=4\ln 100\approx 18{,}4$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill ED-E.1 — solution particulière constante

3 questionsCorrigé masqué

Soit l'équation différentielle $y'=ay+b$ avec $a\neq 0$ et $b$ constant.

Montrer qu'il existe une unique solution particulière constante $y_p=-\frac{b}{a}$ .
Écrire la solution générale de l'équation.
Déterminer la solution vérifiant la condition initiale $y(0)=0$ dans le cas $a=-\frac14$ , $b=\frac12$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Si $y_p=k$ est constante, alors $y_p'=0$ et l'équation différentielle $y'=ay+b$ impose $0=ak+b$ , d'où l'unique solution particulière constante $k=-\frac{b}{a}$ (car $a\neq 0$ ).

2. L'équation homogène $y'=ay$ a pour solutions $y=C e^{ax}$ . La solution générale de $y'=ay+b$ est donc $y(x)=C e^{ax}-\frac{b}{a}$ .

3. Pour $a=-\frac14$ et $b=\frac12$ , $y(x)=C e^{-x/4}+2$ . La condition initiale $y(0)=0$ donne $C+2=0$ , soit $C=-2$ , d'où $y(x)=2-2e^{-x/4}$ .

Méthode / Automatismes

Chercher d'abord une solution particulière constante lorsque le second membre est constant.
Solution générale = solution homogène + solution particulière.
Imposer la condition initiale en dernier.

Pièges classiques

Écrire $y=C e^{t/4}$ au lieu de $e^{-t/4}$ . Oublier d'ajouter la solution particulière $+2$ .

Équation y′=−14y+12y'=-\frac14 y+\frac12y′=−41​y+21​ : solution générale et applications numériques

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Équation $y'=-\frac14 y+\frac12$ : solution générale et applications numériques