ED-FÉquations différentielles

De l'équation différentielle $y'=ay+b$ à l'expression de $f$ via $f'$

Idée directrice

Troisième angle du corrigé SE contrôle 2017 : partir de l'équation différentielle $y'=ay+b$ et de la condition $f(0)=0$ , $f'(0)=\frac12$ , pour exprimer $f$ en fonction de $f'$ , déterminer $a$ , puis écrire explicitement la solution $f(x)=2-2e^{-0{,}25 x}$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $y'=ay+b$ »

« $f(x)=\frac1a(f'(x)-\frac12)$ »

« Solution générale puis condition initiale »

« $f(x)=2-2e^{-0{,}25 x}$ »

Sujet principal

Exercice — exprimer $f$ à partir de $y'=ay+b$ (esprit SE contrôle 2017)

5 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ , solution de l'équation différentielle $y'=ay+b$ avec $a\neq 0$ . On donne $f(0)=0$ et $f'(0)=\frac12$ .

Montrer que $b=\frac12$ et que pour tout $x$ , $f(x)=\dfrac{1}{a}\Bigl(f'(x)-\dfrac12\Bigr)$ .
En déduire que si $S=\displaystyle\int_0^4 f(x)\,\mathrm{d}x$ et si $f(4)=2-2e^{-1}$ , alors $S=\dfrac{1}{a}\bigl(f(4)-2\bigr)$ .
Sachant que $S=8e^{-1}$ , déterminer $a$ .
Écrire l'équation différentielle obtenue, donner sa solution générale, puis la solution $f$ vérifiant la condition initiale $f(0)=0$ .
Calculer $f(3)$ et commenter (modèle de croissance d'une plante).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $f'(0)=a f(0)+b\Rightarrow b=\frac12$ . Puis $f'(x)=a f(x)+\frac12\Rightarrow f(x)=\frac1a\bigl(f'(x)-\frac12\bigr)$ .

2. $S=\int_0^4 f=\frac1a\int_0^4\bigl(f'-\frac12\bigr)=\frac1a\Bigl([f]_0^4-\frac12\cdot 4\Bigr)=\frac1a\bigl(f(4)-2\bigr)$ car $f(0)=0$ .

3. $8e^{-1}=\frac1a(2-2e^{-1}-2)=\frac1a(-2e^{-1})\Rightarrow a=-0{,}25$ .

4. $(E):\ y'=-0{,}25 y+\frac12$ . Solution générale : $y=C e^{-0{,}25 x}+2$ . Condition initiale $f(0)=0$ : $f(x)=2-2e^{-0{,}25 x}$ .

5. $f(3)=2-2e^{-0{,}75}\approx 1{,}05$ : hauteur d'environ $1{,}05$ m au bout de trois semaines dans le modèle de la plante de maïs.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill ED-F.1 — de $y'=ay+b$ à $a$ et $b$

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ solution de l'équation différentielle $y'=ay+b$ , avec $f(0)=0$ et $f'(0)=\frac12$ .

Déterminer $b$ .
Exprimer $f(x)$ en fonction de $a$ et $f'(x)$ .
Si de plus $a=-\frac14$ , écrire $f$ sous forme explicite après imposition de la condition initiale $f(0)=0$ sur la solution générale.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Comme $f$ est solution de $y'=ay+b$ , on a $f'(0)=a f(0)+b$ . Avec $f(0)=0$ et $f'(0)=\frac12$ , on obtient $b=\frac12$ .

2. L'équation différentielle s'écrit $f'(x)=a f(x)+\frac12$ , d'où $f(x)=\frac{1}{a}\bigl(f'(x)-\frac12\bigr)$ pour tout $x$ (puisque $a\neq 0$ ).

3. Si $a=-\frac14$ , la solution générale est $y=C e^{-x/4}+2$ . La condition initiale $f(0)=0$ impose $C=-2$ , donc $f(x)=2-2e^{-x/4}$ . On vérifie $f'(x)=\frac12 e^{-x/4}$ et $-\frac14 f(x)+\frac12=f'(x)$ .

Méthode / Automatismes

Toujours partir de $f'=af+b$ pour lire $b$ en $0$ .
Intégrer la relation $f=\frac1a(f'-\frac12)$ pour relier l'aire à $f(4)$ .
Terminer par solution générale puis condition initiale.

Pièges classiques

Erreur de signe sur $a$ en résolvant $S=\frac1a(f(4)-2)$ . Oublier que $f(0)=0$ dans le crochet.

De l'équation différentielle y′=ay+by'=ay+by′=ay+b à l'expression de fff via f′f'f′

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

De l'équation différentielle $y'=ay+b$ à l'expression de $f$ via $f'$