ED-DÉquations différentielles

Modélisation par $y'=ay+b$ : croissance d'une plante et condition initiale

Idée directrice

Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2017, exercice 4 : lecture de $f(0)$ et $f'(0)$ , équation différentielle $y'=ay+b$ , détermination de $a$ et $b$ , solution générale, condition initiale, modélisation de la hauteur d'une plante de maïs.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $y'=ay+b$ »

« Condition initiale $f(0)=0$ »

« $f(x)=2-2e^{-0{,}25 x}$ »

« Hauteur d'une plante de maïs »

Sujet principal

Exercice — équation différentielle $y'=ay+b$ et modélisation (esprit SE contrôle 2017)

5 questionsCorrigé masqué

On considère une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ , solution de l'équation différentielle $y'=ay+b$ où $a$ et $b$ sont des réels avec $a\neq 0$ . On suppose $f(0)=0$ et $f'(0)=\dfrac12$ .

Montrer que $b=\dfrac12$ .
En déduire que pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f(x)=\dfrac{1}{a}\Bigl(f'(x)-\dfrac12\Bigr)$ .
On admet que $f(4)=2-2e^{-1}$ et que l'aire $S$ de la région limitée par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses, entre $x=0$ et $x=4$ vaut $S=8e^{-1}$ . Montrer que $a=-0{,}25$ .
Résoudre l'équation différentielle $y'=-0{,}25\,y+\dfrac12$ et déterminer la solution $f$ vérifiant la condition initiale $f(0)=0$ . Écrire la solution générale, puis appliquer la condition.
On pose $h(t)=2-2e^{-0{,}25 t}$ (hauteur en mètres, $t$ en semaines). Calculer $h(3)$ et résoudre $h(t)>1{,}98$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $f$ solution de $y'=ay+b$ donne $f'(x)=a f(x)+b$ pour tout $x$ . En $x=0$ : $f'(0)=a f(0)+b$ soit $\frac12=b$ car $f(0)=0$ . Ainsi $b=\frac12$ .

2. $f'(x)=a f(x)+\frac12$ d'où $a f(x)=f'(x)-\frac12$ et, comme $a\neq 0$ , $f(x)=\frac{1}{a}\bigl(f'(x)-\frac12\bigr)$ .

3. En intégrant la relation précédente entre $0$ et $4$ (lien aire / primitive de $f'$ ), le corrigé obtient $S=\frac{1}{a}(f(4)-2)$ . Avec $S=8e^{-1}$ et $f(4)=2-2e^{-1}$ , on tire $a=-0{,}25$ .

4. Solution générale de $y'=-0{,}25 y+\frac12$ : $y(x)=Ce^{-0{,}25 x}+2$ . Condition initiale $f(0)=0$ : $C+2=0$ donc $C=-2$ , d'où $f(x)=2-2e^{-0{,}25 x}$ .

5. $h(3)=2-2e^{-0{,}75}\approx 1{,}05$ m. $h(t)>1{,}98\Leftrightarrow 2-2e^{-0{,}25 t}>1{,}98\Leftrightarrow e^{-0{,}25 t}<0{,}01\Leftrightarrow t>-\frac{\ln 0{,}01}{0{,}25}\approx 18{,}4$ semaines.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill ED-D.1 — solution de $y'=ay+b$ avec condition initiale

3 questionsCorrigé masqué

On considère l'équation différentielle $(E):\ y'=-0{,}25\,y+\dfrac12$ sur $\mathbb{R}$ .

Donner la solution générale de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ vérifiant la condition initiale $f(0)=0$ .
Vérifier par dérivation que $f$ est bien solution de $(E)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. La solution générale s'écrit $y(x)=Ce^{-0{,}25 x}+2$ ( $C\in\mathbb{R}$ ).

2. $f(0)=0\Rightarrow C+2=0\Rightarrow C=-2$ , donc $f(x)=2-2e^{-0{,}25 x}$ .

3. $f'(x)=\frac12e^{-0{,}25 x}$ et $-0{,}25 f(x)+\frac12=-0{,}25(2-2e^{-0{,}25 x})+\frac12=\frac12 e^{-0{,}25 x}=f'(x)$ .

Entraînement 02 / 02

Drill ED-D.2 — lecture de $b$ et de la condition initiale

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ solution de l'équation différentielle $y'=ay+b$ avec $a\neq 0$ , $f(0)=0$ et $f'(0)=\frac12$ .

Montrer que $b=\frac12$ .
Écrire $f(x)$ en fonction de $a$ et de $f'(x)$ .
Interpréter $f(0)=0$ comme une condition initiale.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $f'(0)=a f(0)+b\Rightarrow \frac12=b$ car $f(0)=0$ .

2. $f'(x)=a f(x)+\frac12\Rightarrow f(x)=\frac{1}{a}\bigl(f'(x)-\frac12\bigr)$ .

3. La condition initiale fixe la constante d'intégration dans la solution générale de l'équation différentielle.

Méthode / Automatismes

Lire $b$ sur $f'(0)=a f(0)+b$ lorsque $f(0)=0$ .
Solution de $y'=ay+b$ : $y=C e^{ax}-\frac{b}{a}$ (si $a\neq 0$ ).
Toujours imposer la condition initiale après la solution générale.

Pièges classiques

Oublier le signe de $a$ . Confondre solution générale et solution particulière. Résoudre $h(t)>1{,}98$ en gardant l'inégalité dans le mauvais sens après le logarithme.

Modélisation par y′=ay+by'=ay+by′=ay+b : croissance d'une plante et condition initiale

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Modélisation par $y'=ay+b$ : croissance d'une plante et condition initiale