Masar
Masar
Bac Tunisie
Mathématiques/ED-C
Entraîner la reconnaissance
ED-CÉquations différentielles

Modélisation par une équation différentielle : refroidissement, désintégration, charge

Idée directrice

Le problème modélise un phénomène physique (refroidissement de Newton, désintégration radioactive, charge/décharge d'un condensateur) par une équation y′=ay+by'=ay+b ou y′=ayy'=ay. La démarche est toujours : (1) établir l'équation différentielle à partir du modèle ; (2) résoudre et appliquer la condition initiale ; (3) exploiter la solution — trouver un temps caractéristique, déterminer l'instant où la grandeur atteint un seuil, calculer une valeur asymptotique.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Montrer que T(t)T(t) vérifie T′=−k(T−Ta)T'=-k(T-T_a) » ; « Exprimer T(t)T(t) en fonction de kk » ; « Déterminer la constante de temps τ\tau » ; « À quelle date la température atteint-elle T∗T^* ? ».

Sujet principal

Exercice 3 — refroidissement d'un objet (loi de Newton)

5 questionsCorrigé masqué

Un objet métallique sort d'un four à T0=400 ∘CT_0=400\,^\circ\text{C} et refroidit dans une pièce maintenue à température ambiante Ta=20 ∘CT_a=20\,^\circ\text{C}. La loi de Newton stipule que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température : T′(t)=−k(T(t)−Ta)T'(t)=-k(T(t)-T_a), où k>0k>0 est une constante et tt est exprimé en minutes.

On mesure que T(10)=220 ∘CT(10)=220\,^\circ\text{C}.

  1. Poser θ(t)=T(t)−Ta\theta(t)=T(t)-T_a. Montrer que θ\theta vérifie une équation différentielle de la forme θ′=−kθ\theta'=-k\theta.
  2. Résoudre cette équation et exprimer θ(t)\theta(t) en fonction de kk et tt, en utilisant la condition initiale θ(0)=T0−Ta\theta(0)=T_0-T_a.
  3. Utiliser la mesure T(10)=220 ∘CT(10)=220\,^\circ\text{C} pour calculer kk (valeur exacte puis approchée à 10−310^{-3} près).
    1. Exprimer θ(10)\theta(10) en fonction de kk.
    2. En déduire k=110ln⁡θ(0)θ(10)k=\dfrac{1}{10}\ln\dfrac{\theta(0)}{\theta(10)}.
  4. Déterminer à quelle date t∗t^* (en minutes) la température de l'objet atteint T∗=60 ∘CT^*=60\,^\circ\text{C}.
  5. Montrer que T(t)T(t) ne peut jamais atteindre Ta=20 ∘CT_a=20\,^\circ\text{C} en temps fini. Interpréter physiquement.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On pose θ(t)=T(t)−Ta\theta(t)=T(t)-T_a. On a : θ′(t)=T′(t)=−k(T(t)−Ta)=−kθ(t)\theta'(t)=T'(t)=-k(T(t)-T_a)=-k\theta(t). Par suite θ\theta vérifie θ′=−kθ\theta'=-k\theta.

2. On sait que les solutions de θ′=−kθ\theta'=-k\theta sont θ(t)=C e−kt\theta(t)=C\,\e^{-kt}. La condition initiale θ(0)=T0−Ta=380\theta(0)=T_0-T_a=380 donne C=380C=380. On obtient θ(t)=380 e−kt\theta(t)=380\,\e^{-kt} et T(t)=20+380 e−ktT(t)=20+380\,\e^{-kt}.

3a. θ(10)=380 e−10k=T(10)−Ta=220−20=200\theta(10)=380\,\e^{-10k}=T(10)-T_a=220-20=200.

3b. e−10k=200380=1019\e^{-10k}=\dfrac{200}{380}=\dfrac{10}{19}, d'où k=110ln⁡380200=110ln⁡1910≈0,064 min−1k=\dfrac{1}{10}\ln\dfrac{380}{200}=\dfrac{1}{10}\ln\dfrac{19}{10}\approx0{,}064\text{ min}^{-1}.

4. T(t∗)=60T(t^*)=60 donne 20+380 e−kt∗=6020+380\,\e^{-kt^*}=60, soit e−kt∗=40380=219\e^{-kt^*}=\dfrac{40}{380}=\dfrac{2}{19}. On obtient t∗=1kln⁡192=10ln⁡(19/2)ln⁡(19/10)≈35,7 mint^*=\dfrac{1}{k}\ln\dfrac{19}{2}=\dfrac{10\ln(19/2)}{\ln(19/10)}\approx35{,}7\text{ min}.

5. θ(t)=380 e−kt>0\theta(t)=380\,\e^{-kt}>0 pour tout tt fini, ce qui prouve que T(t)>TaT(t)>T_a pour tout tt fini. Physiquement, l'objet s'approche indéfiniment de TaT_a sans jamais l'atteindre. Conclusion : lim⁡t→+∞T(t)=Ta=20 ∘C\lim_{t\to+\infty}T(t)=T_a=20\,^\circ\text{C}.

Méthode / Automatismes
  • Changement de variable : poser θ=y−y∞\theta=y-y_{\infty} (écart à l'équilibre) ramène toujours y′=a(y−y∞)y'=a(y-y_{\infty}) à une équation homogène θ′=aθ\theta'=a\theta.
  • **Extraction de kk :** e−kt1=r\e^{-kt_1}=r ⇒\Rightarrow k=−ln⁡(r)/t1k=-\ln(r)/t_1 ; prendre soin des signes (k>0k>0 si r<1r<1).
  • **Trouver t∗t^* :** isoler l'exponentielle, puis appliquer ln⁡\ln. Donner une valeur exacte (logarithme) puis numérique.
  • Asymptote : la solution converge vers y∞y_{\infty} si a<0a<0 (coefficient de l'exponentielle négatif) ; elle n'atteint jamais y∞y_{\infty} en temps fini car eat≠0\e^{at}\neq0.
Pièges classiques

Oublier de centrer (θ=T−Ta\theta=T-T_a) et résoudre T′=−kTT'=-kT au lieu de T′=−k(T−Ta)T'=-k(T-T_a) — l'asymptote est alors 00 au lieu de TaT_a. Prendre ln⁡\ln des deux membres sans vérifier que l'argument est strictement positif. Confondre kk (en min−1^{-1}) et 1/k1/k (constante de temps τ\tau en minutes).

Variantes rencontrées : désintégration radioactive N′=−λNN'=-\lambda N (même structure, demande souvent la demi-vie t1/2=ln⁡2/λt_{1/2}=\ln 2/\lambda) ; charge d'un condensateur RCRC : u′+(1/RC)u=E/RCu'+(1/RC)u=E/RC (second membre non nul, valeur asymptotique EE).