ED-BÉquations différentielles

Oscillateur harmonique : équation $y''+\omega^2 y=0$

Idée directrice

Le problème s'identifie par la présence de $y''$ et d'un terme $+\omega^2 y$ sans amortissement. La solution générale est $y(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$ , ou de façon équivalente $y(t)=R\cos(\omega t+\varphi)$ . Les deux constantes $A,B$ (ou $R,\varphi$ ) sont fixées par les conditions initiales $y(0)$ et $y'(0)$ . La physique demande d'interpréter $\omega$ comme la pulsation propre et $T=2\pi/\omega$ comme la période.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Montrer que $\theta(t)$ vérifie $\theta''+\omega_0^2\theta=0$ » ; « Donner la solution générale en fonction de $A$ et $B$ » ; « Déterminer la période propre $T_0$ ».

Sujet principal

Exercice 2 — oscillateur harmonique et conditions initiales

5 questionsCorrigé masqué

On étudie les oscillations d'un pendule de longueur $l=1{,}0\text{ m}$ (petites oscillations). L'angle $\theta(t)$ (en radians) vérifie l'équation différentielle :

\theta''+\omega_0^2\,\theta=0,\quad \omega_0=\sqrt{\dfrac{g}{l}},\quad g=9{,}81\text{ m/s}^2.

Calculer $\omega_0$ (valeur numérique approchée à $10^{-2}$ près) et en déduire la période propre $T_0$ .
Donner la solution générale de l'équation différentielle.
Déterminer $A$ et $B$ sachant que $\theta(0)=0{,}15\text{ rad}$ et $\theta'(0)=0\text{ rad/s}$ .
1. Exprimer $\theta(t)$ sous la forme $A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)$ .
2. Appliquer les conditions initiales pour trouver $A$ et $B$ .
Mettre la solution sous la forme $R\cos(\omega_0 t+\varphi)$ et identifier $R$ et $\varphi$ .
Déterminer les instants $t_k>0$ auxquels le pendule repasse par la position d'équilibre ( $\theta=0$ ).

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1. On a : $\omega_0=\sqrt{9{,}81/1{,}0}\approx3{,}13\text{ rad/s}$ . On obtient $T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}\approx\dfrac{6{,}28}{3{,}13}\approx2{,}01\text{ s}$ .

2. On sait que l'équation caractéristique $r^2+\omega_0^2=0$ a pour racines $\pm i\omega_0$ . On pose $\theta(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)$ : les solutions de l'équation sont de cette forme, $A,B\in\R$ .

3. $\theta(0)=A=0{,}15$ . $\theta'(t)=-A\omega_0\sin(\omega_0 t)+B\omega_0\cos(\omega_0 t)$ , d'où $\theta'(0)=B\omega_0=0$ , donc $B=0$ . Par suite $\theta(t)=0{,}15\cos(\omega_0 t)$ .

4. $R=\sqrt{A^2+B^2}=0{,}15$ , $\varphi=\arctan(-B/A)=0$ (car $B=0$ et $A>0$ ). On obtient $\theta(t)=0{,}15\cos(\omega_0 t)$ ( $\varphi=0$ ).

5. $\cos(\omega_0 t)=0$ si et seulement si $\omega_0 t=(2k+1)\pi/2$ . Conclusion : $t_k=\dfrac{(2k+1)\pi}{2\omega_0}=\dfrac{(2k+1)T_0}{4}$ , $k\in\N$ (premiers passages : $t_0\approx0{,}50\text{ s}$ , $t_1\approx1{,}51\text{ s}$ ).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill ED-B.1 — $y''+\omega^2 y=0$

1 questionCorrigé masqué

Résoudre $y''+4y=0$ avec $y(0)=1$ , $y'(0)=0$ .

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On pose $y=A\cos(2x)+B\sin(2x)$ . $y(0)=A=1$ ; $y'(0)=2B=0$ : on obtient $B=0$ . Conclusion : $y=\cos(2x)$ .

Entraînement 02 / 02

Drill ED-B.2 — oscillateur harmonique (contexte physique)

1 questionCorrigé masqué

Un mobile vérifie $x''(t)+\omega^2 x(t)=0$ , $x(0)=x_0$ , $x'(0)=0$ . Donner $x(t)$ et la période.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose $x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$ . Avec $x(0)=x_0$ et $x'(0)=0$ , on obtient $A=x_0$ , $B=0$ . Conclusion : $x=x_0\cos(\omega t)$ et $T=\tfrac{2\pi}{\omega}$ .

Méthode / Automatismes

Équation caractéristique : pour $y''+\omega^2 y=0$ , poser $r^2+\omega^2=0$ $\Rightarrow$ $r=\pm i\omega$ $\Rightarrow$ sol. générale $A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$ .
Conditions initiales : $y(0)=A$ et $y'(0)=B\omega$ — les deux équations donnent directement $A$ et $B$ .
Forme amplitude-phase : $R=\sqrt{A^2+B^2}$ , $\tan\varphi=-B/A$ (attention au quadrant : $\cos\varphi=A/R$ , $\sin\varphi=-B/R$ ).
Période : $T=2\pi/\omega$ ; demi-période $T/2$ entre deux passages consécutifs par l'équilibre.

Pièges classiques

Confondre $\omega$ et $T$ ( $\omega=2\pi/T$ , pas $\omega=T$ ). Négliger de dériver $\theta$ pour trouver $B$ à partir de $\theta'(0)$ . Dans la forme $R\cos(\omega t+\varphi)$ , mal déterminer le signe de $\varphi$ faute d'avoir vérifié le quadrant de $\varphi$ avec $\cos\varphi$ et $\sin\varphi$ simultanément.

Variantes rencontrées : L'équation peut modéliser un circuit $LC$ ( $q''+\frac{1}{LC}q=0$ ) ; le second membre peut être non nul ( $y''+\omega^2 y=f(t)$ , oscillateur forcé) ; l'énoncé peut demander de vérifier qu'une expression donnée est solution avant de chercher les constantes.

Oscillateur harmonique : équation y′′+ω2y=0y''+\omega^2 y=0y′′+ω2y=0

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Oscillateur harmonique : équation $y''+\omega^2 y=0$