ED-AÉquations différentielles

Équations $y'=ay$ et $y'=ay+b$ : résolution et condition initiale

Idée directrice

Le fil conducteur : toute équation du premier ordre linéaire à coefficients constants se ramène à $y'=ay$ (homogène) ou $y'=ay+b$ (avec second membre constant). La solution générale de $y'=ay$ est $y=C\,\e^{ax}$ , celle de $y'=ay+b$ est $y=C\,\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$ ( $a\neq0$ ). On détermine $C$ par la condition initiale $y(x_0)=y_0$ , puis on interprète le signe de $a$ pour discuter croissance/décroissance.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Résoudre l'équation différentielle $y'-ky=0$ » ; « Déterminer la solution vérifiant $y(0)=y_0$ » ; « Étudier le comportement de la solution en $+\infty$ ».

Sujet principal

Exercice 1 — résolution d'une équation différentielle du premier ordre

5 questionsCorrigé masqué

Soit l'équation différentielle $(E)$ : $y'-3y+6=0$ , définie sur $\R$ .

Résoudre l'équation homogène associée $(E_0)$ : $y'-3y=0$ .
Trouver une solution particulière constante de $(E)$ .
1. On cherche $y_p=k$ (constante). Déterminer $k$ .
2. Vérifier que $y_p$ est bien solution de $(E)$ .
En déduire la solution générale de $(E)$ sur $\R$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=5$ .
Étudier les variations de $f$ et préciser le comportement de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

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1. On sait que l'équation homogène $y'=3y$ est à variables séparables. On pose $y_h=C\,\e^{3x}$ : les solutions de l'équation $y'-3y=0$ sont $y_h=C\,\e^{3x}$ , $C\in\R$ .

2a. On cherche une solution particulière constante $y_p=k$ . On a : $0-3k+6=0$ , d'où $k=2$ ; on obtient $y_p=2$ .

2b. $y_p'=0$ et $0-3(2)+6=0$ . Par suite $y_p=2$ est solution de $(E)$ .

3. La solution générale est la somme de la solution homogène et d'une particulière : $y(x)=C\,\e^{3x}+2$ , $C\in\R$ .

4. La condition $f(0)=5$ donne $C\,\e^{0}+2=C+2=5$ , d'où $C=3$ . Conclusion : $f(x)=3\,\e^{3x}+2$ .

5. $f'(x)=9\,\e^{3x}>0$ pour tout $x\in\R$ , ce qui prouve que $f$ est strictement croissante sur $\R$ . De plus $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}f(x)=2$ : la droite $y=2$ est asymptote horizontale en $-\infty$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 04

Drill ED-A.1 — $y'=ay$ avec condition initiale

1 questionCorrigé masqué

Résoudre $y'=2y$ avec $y(0)=3$ .

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On pose $y=Ce^{2x}$ . $y(0)=3$ donne $C=3$ : on obtient $y=3e^{2x}$ .

Entraînement 02 / 04

Drill ED-A.2 — désintégration radioactive

1 questionCorrigé masqué

Une quantité vérifie $N'=-\lambda N$ , $N(0)=N_0$ , de demi-vie $T$ . Exprimer $\lambda$ en fonction de $T$ .

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On pose $N=N_0e^{-\lambda t}$ . À $t=T$ , $N=\tfrac{N_0}2$ : on obtient $e^{-\lambda T}=\tfrac12$ , d'où $\lambda=\dfrac{\ln2}{T}$ .

Entraînement 03 / 04

Drill ED-A.3 — équation avec second membre constant

1 questionCorrigé masqué

Résoudre $y'+y=2$ avec $y(0)=0$ .

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On pose $y_p=2$ et $y_h=Ce^{-x}$ . On a : $y=2+Ce^{-x}$ . Avec $y(0)=0$ on obtient $C=-2$ . Conclusion : $y=2(1-e^{-x})$ .

Entraînement 04 / 04

Drill ED-A.4 — vérifier qu'une fonction est solution

1 questionCorrigé masqué

Montrer que $y(x)=(x+1)e^{-x}$ est solution de $y'+y=e^{-x}$ .

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Montrons que $y=(x+1)e^{-x}$ est solution de $y'+y=e^{-x}$ . $y'=e^{-x}-(x+1)e^{-x}=-x\,e^{-x}$ . Par suite $y'+y=-xe^{-x}+(x+1)e^{-x}=e^{-x}$ , ce qui prouve que $y$ est solution.

Méthode / Automatismes

Structure standard : solution générale = $C\,\e^{ax}$ (homogène) $+$ solution particulière. Pour $b$ constant, $y_p=-b/a$ .
Condition initiale : substituer $x=x_0$ dans l'expression générale et résoudre en $C$ — ne pas oublier de simplifier $\e^{ax_0}$ .
**Signe de $a$ :** $a>0$ $\Rightarrow$ la solution explose (croissante si $C>0$ ) ; $a<0$ $\Rightarrow$ la solution converge vers $-b/a$ (asymptote).
**Variante $y'=g(x)$ :** si le second membre dépend de $x$ , chercher une solution particulière de la même famille que $g$ (polynôme, exponentielle, sinusoïde).

Pièges classiques

Oublier la constante $C$ dans la solution générale (confondu avec la solution particulière satisfaisant une C.I.). Diviser par $a$ sans vérifier $a\neq0$ . Confondre $y'=ay$ (homogène) et $y'=ay+b$ : la solution particulière $-b/a$ ne s'applique que quand $a\neq0$ . Ne pas réexprimer le résultat final en termes simples après avoir trouvé $C$ .

Variantes rencontrées : La fonction inconnue peut être notée $q(t)$ (charge électrique) ou $N(t)$ (population) ; l'équation peut se présenter sous la forme $y'+py=q$ avec $p$ et $q$ constants. Parfois l'énoncé demande de vérifier qu'une fonction donnée est solution avant de conclure sur l'unicité.

Équations y′=ayy'=ayy′=ay et y′=ay+by'=ay+by′=ay+b : résolution et condition initiale

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Équations $y'=ay$ et $y'=ay+b$ : résolution et condition initiale