Masar
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Bac Tunisie
Mathématiques/FR-B
Entraîner la reconnaissance
FR-BFonctions réciproques

Fonction réciproque : existence, expression, courbes symétriques

Idée directrice

Une fonction bijective f:I→Jf:I\to J admet une réciproque f−1:J→If^{-1}:J\to I vérifiant f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x et f(f−1(y))=yf(f^{-1}(y))=y. Les graphes de ff et f−1f^{-1} sont symétriques par rapport à la droite y=xy=x. L'expression de f−1f^{-1} s'obtient en résolvant y=f(x)y=f(x) en xx (puis en interchangeant les rôles de xx et yy).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Montrer que ff admet une réciproque f−1f^{-1} et déterminer son expression » ; « Les courbes de ff et f−1f^{-1} sont-elles symétriques ? Par rapport à quelle droite ? » ; « Résoudre y=f(x)y=f(x) en xx ».

Sujet principal

Exercice 3 — existence et expression de la réciproque

5 questionsCorrigé masqué

On considère la fonction ff définie sur [0;+∞[[0;+\infty[ par f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x.

  1. Montrer que ff est strictement croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[, puis déterminer l'image J=f ⁣([0;+∞[)J=f\!\left([0;+\infty[\right).
  2. Justifier que ff est une bijection de [0;+∞[[0;+\infty[ sur JJ, et qu'elle admet donc une réciproque f−1:J→[0;+∞[f^{-1}:J\to[0;+\infty[.
  3. Déterminer l'expression de f−1(x)f^{-1}(x) pour x∈Jx\in J.
    1. Poser y=x2+2xy=x^2+2x et résoudre en x≥0x\geq0.
    2. En déduire f−1(x)f^{-1}(x).
  4. Décrire la relation géométrique entre les courbes représentatives Cf\mathcal{C}_f et Cf−1\mathcal{C}_{f^{-1}}. Sur un même repère, tracer les deux courbes et l'axe de symétrie.
  5. Vérifier : calculer f−1(f(2))f^{-1}(f(2)) et f(f−1(8))f(f^{-1}(8)).
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Montrons que ff est strictement croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[. f′(x)=2x+2≥2>0f'(x)=2x+2\ge2>0 pour x≥0x\ge0, par suite ff est strictement croissante. f(0)=0f(0)=0 et lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, d'où J=[0;+∞[J=[0;+\infty[. Conclusion : ff est croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[ et J=f([0;+∞[)=[0;+∞[J=f([0;+\infty[)=[0;+\infty[.

2. Montrons que ff est une bijection de [0;+∞[[0;+\infty[ sur JJ. ff est continue et strictement monotone, il en résulte qu'elle réalise une bijection et admet une réciproque f−1:J→[0;+∞[f^{-1}:J\to[0;+\infty[. Conclusion : existence de f−1f^{-1}.

3. y=x2+2x=(x+1)2−1y=x^2+2x=(x+1)^2-1. Résoudre (x+1)2=y+1(x+1)^2=y+1 donne x=y+1−1x=\sqrt{y+1}-1 (car x≥0x\ge0). Conclusion : f−1(x)=x+1−1f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}-1 sur J=[0;+∞[J=[0;+\infty[.

4. Les courbes Cf\mathcal{C}_f et Cf−1\mathcal{C}_{f^{-1}} sont symétriques par rapport à la droite y=xy=x.

5. f(2)=8f(2)=8 ; f−1(f(2))=f−1(8)=2f^{-1}(f(2))=f^{-1}(8)=2 et f(f−1(8))=8f(f^{-1}(8))=8. Conclusion : les vérifications sont conformes.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill FR-B.1 — dérivée de arctan⁡\arctan

1 questionCorrigé masqué

Sachant que tan⁡′=1+tan⁡2\tan'=1+\tan^2, retrouver (arctan⁡)′(x)=11+x2(\arctan)'(x)=\dfrac1{1+x^2}.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Montrons que (arctan⁡)′(x)=11+x2(\arctan)'(x)=\dfrac1{1+x^2}. Soit g=arctan⁡g=\arctan ; on a tan⁡(g(x))=x\tan(g(x))=x. En dérivant : g′(x) (1+tan⁡2(g(x)))=1g'(x)\,(1+\tan^2(g(x)))=1. Or tan⁡(g(x))=x\tan(g(x))=x, par suite g′(x)(1+x2)=1g'(x)(1+x^2)=1. Conclusion : g′(x)=11+x2g'(x)=\dfrac1{1+x^2}, ce qui prouve la formule demandée.

Entraînement 02 / 02

Drill FR-B.2 — racine nn-ième

1 questionCorrigé masqué

Soit f(x)=x5f(x)=x^5 sur [0,+∞[[0,+\infty[, de réciproque g(x)=x1/5g(x)=x^{1/5}. Calculer g′(32)g'(32).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose g=f−1g=f^{-1}. On a : g′(32)=1f′(2)g'(32)=\dfrac1{f'(2)} car 25=322^5=32, et f′(2)=80f'(2)=80. On obtient 180\dfrac1{80}. Conclusion : g′(32)=180g'(32)=\dfrac1{80}.

Méthode / Automatismes
  • Bijection : une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est bijective sur son image (qui est un intervalle).
  • **Expression de f−1f^{-1}** : poser y=f(x)y=f(x), résoudre en xx en n'oubliant pas la contrainte sur le domaine (x≥0x\geq0, x∈Ix\in I…), puis échanger xx et yy.
  • Symétrie : si (a,b)∈Cf(a,b)\in\mathcal{C}_f alors (b,a)∈Cf−1(b,a)\in\mathcal{C}_{f^{-1}}. L'axe y=xy=x est l'axe de la symétrie axiale échangeant les deux courbes.
  • Vérification : f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x et f(f−1(y))=yf(f^{-1}(y))=y — toujours vérifier sur un exemple numérique.
Pièges classiques

Oublier la contrainte du domaine lors de la résolution (x≥0x\geq0 impose de choisir la racine positive). Ne pas interchanger xx et yy à la fin (écrire f−1(y)=⋯f^{-1}(y)=\cdots au lieu de f−1(x)=⋯f^{-1}(x)=\cdots). Croire que f−1(x)=1/f(x)f^{-1}(x)=1/f(x) : les deux notations sont radicalement différentes.

Variantes rencontrées : Réciproque d'une fonction trigonométrique sur un intervalle restreint (arcsin⁡\arcsin, arccos⁡\arccos, arctan⁡\arctan) ; réciproque de x↦exx\mapsto e^x (i.e. ln⁡\ln).