Masar — Ton parcours vers le Bac

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets de maths

3 questionsCorrigé masqué

Repère orthonormé. Soit $(P_0)$ la conique parabole d'équation $y^2=4x-4$ (devoir m-s2-01). On cherchera foyer, directrice, paramètre $p$ et sommet.

Réécrire l'équation sous la forme $Y^2=2pX$ après translation. En déduire le foyer et la directrice de $(P_0)$ .
Calculer l'intégrale donnant la mesure de la région bornée par la parabole $(P_0)$ et la verticale $x=3$ .
Soit $F(a,b)$ avec $a>0$ et $(P)$ la parabole (type conique) de foyer $F$ et de directrice l'axe des ordonnées. Montrer qu'une équation de $(P)$ est $(y-b)^2=2ax-a^2$ (définition focale de la parabole).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $y^2=4(x-1)$ . Posons $X=x-1$ , $Y=y$ : $Y^2=4X=2pX$ avec $2p=4$ donc $p=2$ .

- Sommet $S(1,0)$
- Foyer $F\left(1+\dfrac{p}{2},0\right)=F(2,0)$ (à droite du sommet pour $p>0$ )
- Directrice $x=1-\dfrac{p}{2}$ soit $x=0$

(Forme standard $Y^2=2pX$ : foyer à $p/2$ de $S$ vers l'intérieur de la parabole.)

2. Pour

x\in[1,3]

y=\pm 2\sqrt{x-1}

. Aire entre les deux branches et

x=3

\mathcal{A}=2\int_1^3 2\sqrt{x-1}\,\mathrm{d}x=4\cdot\dfrac{2}{3}\Big[(x-1)^{3/2}\Big]_1^3=\dfrac{8}{3}\cdot 2^{3/2}=\dfrac{16\sqrt{2}}{3}

3. Parabole = lieux des points

M

équidistants de

F(a,b)

et de la directrice

(Oy)

(

x=0

) :

MF^2 = d(M,(Oy))^2 \Rightarrow (x-a)^2+(y-b)^2 = x^2

x^2-2ax+a^2+(y-b)^2=x^2 \Rightarrow (y-b)^2=2ax-a^2

(devoir m-s2-01).

Parabole y² = 4x − 4 — foyer, directrice et aire

Exercice — dans l'esprit des sujets de maths

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill CO-D.1 — Foyer F(1,0), directrice x=−1