CO-EConiques

Ellipse 9x² + 4y² = 36 et hyperbole

Idée directrice

Réduire l'équation d'une ellipse pour lire $a$ , $b$ , $c=\sqrt{a^2-b^2}$ et l'excentricité $e=c/a$ . Pour une hyperbole, préciser foyers, sommets, directrices et asymptotes.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« ellipse d'équation »

« excentricité e »

« hyperbole … foyers … asymptotes »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets de maths

3 questionsCorrigé masqué

Soit $(\mathcal{E})$ d'équation $9x^2+4y^2=36$ . Montrer que $(\mathcal{E})$ est une ellipse (conique). Calculer son excentricité $e=c/a$ après réduction (devoir m-c3-04).
Préciser les sommets et les foyers de $(\mathcal{E})$ (repère orthonormé).
On donne un ensemble $(\mathrm{H})$ dont on a montré que c'est une hyperbole. Lister les éléments géométriques à préciser pour la caractériser complètement (devoir m-c3-04).

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1. Diviser par 36 :

\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1

. Donc ellipse d'axes

2a=6

(selon

Oy

a=3

) et

2b=4

(selon

Ox

b=2

c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5},\quad e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}

(L'énoncé V/F m-c3-04 demande de vérifier

e

; la valeur exacte est

\sqrt{5}/3

2. Sommets : $(0,\pm 3)$ et $(\pm 2,0)$ . Foyers sur le grand axe ( $Oy$ ) : $F\big(0,\pm\sqrt{5}\big)$ .

3. Pour une hyperbole : les deux foyers, les sommets, les deux directrices et les deux asymptotes (consigne m-c3-04 : « foyers, sommets, directrices et asymptotes »).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill CO-E.1 — Checklist hyperbole

1 questionCorrigé masqué

On a montré qu'une courbe $(\mathrm{H})$ est une hyperbole. Quels quatre types d'éléments géométriques le sujet demande-t-il de préciser (devoir m-c3-04) ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Les foyers, les sommets, les directrices et les asymptotes (énoncé m-c3-04 : « hyperbole dont on précisera les foyers, les sommets, les directrices et les asymptotes »). Ces quatre familles d'éléments caractérisent complètement la conique hyperbole une fois l'équation réduite connue.

Méthode / Automatismes

Toujours ramener à $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ avant $e=c/a$ .
Grand axe = direction où le dénominateur est le plus grand.

Pièges classiques

Prendre $a$ sur le mauvais axe ; confondre $e=c/a$ et $e=c/b$ .