GS-AGéométrie dans l’espace

Produit scalaire dans l'espace, orthogonalité et projeté orthogonal

Idée directrice

Le produit scalaire en coordonnées dans un repère orthonormé $\left(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ est $\vec{u}\cdot\vec{v}=x_u x_v+y_u y_v+z_u z_v$ . Le problème exploite deux usages : (1) orthogonalité ( $\vec{u}\perp\vec{v}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ ) pour montrer que des droites ou des vecteurs sont perpendiculaires ; (2) projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur une droite $(AB)$ — on écrit $\overrightarrow{AH}=t\,\overrightarrow{AB}$ et l'on résout $\overrightarrow{HM}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ » ; « Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles orthogonales ? » ; « Déterminer le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ » ; « Calculer $d(C,(AB))$ ».

Sujet principal

Exercice 1 — orthogonalité et projeté dans le repère de l'espace

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ . On donne les points $A(1;0;2)$ , $B(3;2;0)$ , $C(0;3;1)$ et $D(2;1;3)$ .

Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$ . Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles orthogonales ?
Calculer la norme $\|\overrightarrow{AB}\|$ et la norme $\|\overrightarrow{AC}\|$ , puis l'angle $\widehat{BAC}$ .
Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ .
1. Écrire $\overrightarrow{AH}=t\,\overrightarrow{AB}$ et exprimer les coordonnées de $H$ en fonction de $t$ .
2. Utiliser $\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ pour déterminer $t$ , puis les coordonnées de $H$ .
Calculer la distance $d(C,(AB))=CH$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a : $\overrightarrow{AB}=(2;2;-2)$ et $\overrightarrow{CD}=(2;-2;2)$ . On calcule le produit scalaire : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=2\cdot2+2\cdot(-2)+(-2)\cdot2=4-4-4=-4$ . Or $-4\neq0$ , par suite les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas orthogonales.

2. On a : $\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$ et $\overrightarrow{AC}=(-1;3;-1)$ , $\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}$ . Le produit scalaire donne $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-2+6+2=6$ , d'où $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{6}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{11}}=\dfrac{3}{\sqrt{33}}$ . Conclusion : $\widehat{BAC}=\arccos\!\left(\dfrac{3}{\sqrt{33}}\right)\approx58{,}5^\circ$ .

3a. Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ . On pose $H=A+t\,\overrightarrow{AB}=(1+2t;\,2t;\,2-2t)$ .

3b. On sait que $\overrightarrow{HC}\perp\overrightarrow{AB}$ , donc $\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ . Avec $\overrightarrow{HC}=(-1-2t;\,3-2t;\,-1+2t)$ , on obtient $(-1-2t)\cdot2+(3-2t)\cdot2+(-1+2t)\cdot(-2)=0$ , soit $6-12t=0$ , d'où $t=\dfrac{1}{2}$ . Conclusion : $H\left(2;\,1;\,1\right)$ .

4. On a : $\overrightarrow{HC}=(-2;2;0)$ . On obtient $CH=\sqrt{4+4+0}=2\sqrt{2}$ . Conclusion : $CH=2\sqrt{2}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill GS-A.1 — orthogonalité par produit scalaire

1 questionCorrigé masqué

Dans un repère orthonormé, $\vec u=(1;2;-1)$ et $\vec v=(3;-1;1)$ . Montrer que $\vec u\perp\vec v$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Montrons que $\vec u\perp\vec v$ . $\vec u\cdot\vec v=3-2-1=0$ ; par suite les vecteurs sont orthogonaux. Conclusion : $\vec u\perp\vec v$ .

Entraînement 02 / 02

Drill GS-A.2 — projeté orthogonal

1 questionFigure fournieCorrigé masqué

Soit $A(1;0;0)$ , $B(1;2;2)$ et $M(2;1;0)$ . Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur la droite $(AB)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Soit $H$ le projeté de $M$ sur $(AB)$ . On pose $\overrightarrow{AB}=(0;2;2)$ , $\overrightarrow{AM}=(1;1;0)$ . On a : $t=\dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|^2}=\dfrac{2}{8}=\dfrac14$ . On obtient $H=(1;\tfrac12;\tfrac12)$ . Conclusion : $H\left(1;\tfrac12;\tfrac12\right)$ .

Méthode / Automatismes

Produit scalaire en coordonnées : $\vec{u}\cdot\vec{v}=x_u x_v+y_u y_v+z_u z_v$ — valable uniquement en repère orthonormé.
Projeté orthogonal : paramétrer $H=A+t\,\overrightarrow{AB}$ , puis écrire $\overrightarrow{HM}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ pour trouver $t$ .
Angle : $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ — toujours vérifier que l'angle est dans $[0^\circ,180^\circ]$ .
Distance point-droite : $d(M,(AB))=\|\overrightarrow{AM}-t_0\,\overrightarrow{AB}\|$ où $t_0$ est la valeur trouvée pour le projeté.

Pièges classiques

Appliquer la formule du produit scalaire en coordonnées dans un repère qui n'est pas orthonormé. Confondre $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ (orthogonalité des vecteurs directeurs) avec le fait que les droites se coupent à angle droit dans l'espace (nécessite en plus de vérifier qu'elles s'intersectent). Oublier le signe lors du calcul de $\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AC}-t\,\overrightarrow{AB}$ .

Variantes rencontrées : L'énoncé peut demander de montrer qu'un triangle est rectangle (montrer que deux côtés sont orthogonaux), ou de calculer la distance d'un point à un plan (utiliser la formule avec le vecteur normal).