GS-BGéométrie dans l’espace

Produit vectoriel et déterminant : aires, volumes, colinéarité et coplanarité

Idée directrice

Le produit vectoriel $\vec{u}\wedge\vec{v}$ fournit un vecteur normal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , de norme $\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta$ — ce qui donne directement l'aire du parallélogramme (et la moitié pour le triangle). Le déterminant $\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ (produit mixte) est le volume du parallélépipède et sa nullité caractérise la coplanarité. La colinéarité de deux vecteurs équivaut à $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ » ; « En déduire l'aire du triangle $ABC$ » ; « Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$ » ; « Les points sont-ils coplanaires ? ».

Sujet principal

Exercice 2 — produit vectoriel, aire et volume

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , on donne $A(1;-1;2)$ , $B(3;0;1)$ , $C(2;2;-1)$ et $D(0;1;3)$ .

Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ (produit vectoriel).
1. Rappeler la formule en coordonnées.
2. Effectuer le calcul et donner les coordonnées du vecteur résultat.
En déduire l'aire du triangle $ABC$ .
Calculer le produit mixte $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$ et en déduire le volume du tétraèdre $ABCD$ .
Les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont-ils coplanaires ? Justifier.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1a. On a : si $\vec{u}=(a_1;a_2;a_3)$ et $\vec{v}=(b_1;b_2;b_3)$ , alors $\vec{u}\wedge\vec{v}=(a_2 b_3-a_3 b_2;\;a_3 b_1-a_1 b_3;\;a_1 b_2-a_2 b_1)$ .

1b. On a : $\overrightarrow{AB}=(2;1;-1)$ , $\overrightarrow{AC}=(1;3;-3)$ . On obtient $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\bigl(1\cdot(-3)-(-1)\cdot3;\;(-1)\cdot1-2\cdot(-3);\;2\cdot3-1\cdot1\bigr)=(0;\,5;\,5)$ . Conclusion : $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(0;5;5)$ .

2. On pose $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ . On a : $\|\vec{n}\|=\sqrt{0+25+25}=5\sqrt{2}$ . L'aire du triangle $ABC$ vaut $\dfrac{1}{2}\|\vec{n}\|=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ . Conclusion : aire $(ABC)=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ .

3. On a : $\overrightarrow{AD}=(-1;2;1)$ . Le produit mixte s'écrit $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&3&-3\\-1&2&1\end{vmatrix}$ . Développement selon la première ligne : $2(3\cdot1-(-3)\cdot2)-1(1\cdot1-(-3)\cdot(-1))+(-1)(1\cdot2-3\cdot(-1))=2(3+6)-1(1-3)-1(2+3)=18+2-5=15$ . On obtient $V=\dfrac{|15|}{6}=\dfrac{5}{2}$ . Conclusion : le volume du tétraèdre vaut $\dfrac{5}{2}$ .

4. On sait que quatre points sont coplanaires si et seulement si le produit mixte est nul. Or $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=15\neq0$ , par suite $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ne sont pas coplanaires.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill GS-B.1 — aire d'un triangle par produit vectoriel

1 questionCorrigé masqué

$A(0;0;0)$ , $B(1;0;0)$ , $C(0;2;0)$ . Calculer l'aire du triangle $ABC$ via $\vec{AB}\wedge\vec{AC}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$ , $\overrightarrow{AC}=(0;2;0)$ . On a : $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(0;0;2)$ . On obtient aire $=\tfrac12\cdot2=1$ . Conclusion : l'aire vaut $1$ .

Entraînement 02 / 02

Drill GS-B.2 — coplanarité par le déterminant

1 questionCorrigé masqué

Les vecteurs $\vec u=(1;1;0)$ , $\vec v=(0;1;1)$ , $\vec w=(1;2;1)$ sont-ils coplanaires ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose $d=\det(\vec u,\vec v,\vec w)$ . On a : $d=1(1-2)-1(0-1)=0$ . On obtient $d=0$ . Conclusion : les vecteurs sont coplanaires.

Méthode / Automatismes

Produit vectoriel : $(a_2 b_3-a_3 b_2;\;a_3 b_1-a_1 b_3;\;a_1 b_2-a_2 b_1)$ — mémoriser l'ordre cyclique $1\to2\to3\to1$ .
Aire d'un triangle : $\mathcal{A}=\tfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$ . Parallélogramme : enlever le facteur $\tfrac{1}{2}$ .
Volume tétraèdre : $V=\tfrac{1}{6}|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})|$ . Base $\times$ hauteur $\div 3$ si on connaît la base et la hauteur.
Coplanarité/colinéarité : produit mixte $=0$ $\Leftrightarrow$ coplanarité ; $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow$ colinéarité.

Pièges classiques

Inverser l'ordre des indices dans la formule du produit vectoriel (erreur de signe sur une composante). Confondre volume du tétraèdre ( $\div 6$ ) et volume du parallélépipède ( $=|\det|$ sans facteur). Affirmer que quatre points sont coplanaires à partir de leur seule appartenance à un même plan sans vérifier le rang.

Variantes rencontrées : L'énoncé peut fixer une aire ou un volume et demander de trouver un paramètre inconnu dans les coordonnées d'un point. Il peut aussi demander de montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires (vérifier $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD}=\vec{0}$ ou existence de $k$ tel que $\overrightarrow{CD}=k\,\overrightarrow{AB}$ ).