GS-CGéométrie dans l’espace

Droites et plans : représentations paramétriques, équations cartésiennes, intersections et distances

Idée directrice

Une droite dans l'espace est décrite par un point et un vecteur directeur : représentation paramétrique $(x;y;z)=(x_0+ta;\,y_0+tb;\,z_0+tc)$ . Un plan est décrit par un point et un vecteur normal $\vec{n}=(a;b;c)$ : équation cartésienne $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ . L'intersection d'une droite et d'un plan se trouve en substituant la paramétrique dans l'équation cartésienne. La distance d'un point $M$ à un plan $ax+by+cz+d=0$ est $\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Donner une représentation paramétrique de la droite » ; « Déterminer l'équation cartésienne du plan » ; « Étudier la position relative de $\Delta$ et $\mathcal{P}$ » ; « Calculer la distance de $B$ au plan ».

Sujet principal

Exercice 3 — droites, plans et intersections

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ . Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x-y+3z-6=0$ et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique :

\Delta : \begin{cases} x = 1+t \\ y = 2-t \\ z = 1+2t \end{cases}, \quad t\in\R.

Donner un vecteur normal à $\mathcal{P}$ et un vecteur directeur de $\Delta$ .
La droite $\Delta$ est-elle parallèle, incluse dans, ou sécante au plan $\mathcal{P}$ ? Justifier.
Dans le cas sécant, déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ de $\Delta$ et $\mathcal{P}$ .
Déterminer l'équation cartésienne du plan $\mathcal{Q}$ passant par $A(2;1;0)$ et ayant $\vec{n}=(1;-2;1)$ pour vecteur normal.
Calculer la distance du point $B(3;0;2)$ au plan $\mathcal{P}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a : le vecteur normal à $\mathcal{P}$ est $\vec{n}=(2;-1;3)$ et le vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{d}=(1;-1;2)$ .

2. On calcule $\vec{n}\cdot\vec{d}=2\cdot1+(-1)\cdot(-1)+3\cdot2=2+1+6=9$ . Or $9\neq0$ , par suite $\vec{d}$ n'est pas orthogonal à $\vec{n}$ : $\Delta$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}$ .

3. On pose le paramètre $t$ de $\Delta$ dans l'équation de $\mathcal{P}$ : $2(1+t)-(2-t)+3(1+2t)-6=0$ . On obtient $2+2t-2+t+3+6t-6=0$ , soit $9t-3=0$ , d'où $t=\dfrac{1}{3}$ . Les coordonnées de $I$ sont $x=\tfrac{4}{3}$ , $y=\tfrac{5}{3}$ , $z=\tfrac{5}{3}$ . Conclusion : $I\left(\tfrac{4}{3};\tfrac{5}{3};\tfrac{5}{3}\right)$ .

4. Soit $\mathcal{Q}$ le plan passant par $A(2;1;0)$ de normal $\vec{n}_Q=(1;-2;1)$ . On a : $\vec{n}_Q\cdot\overrightarrow{AM}=0$ pour tout $M\in\mathcal{Q}$ , soit $1(x-2)-2(y-1)+1(z-0)=0$ . On obtient $x-2y+z=0$ . Conclusion : l'équation de $\mathcal{Q}$ est $x-2y+z=0$ .

5. On a : $d(B,\mathcal{P})=\dfrac{|2\cdot3-1\cdot0+3\cdot2-6|}{\sqrt{4+1+9}}=\dfrac{6}{\sqrt{14}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{7}$ . Conclusion : $d(B,\mathcal{P})=\dfrac{3\sqrt{14}}{7}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill GS-C.1 — intersection droite/plan

1 questionCorrigé masqué

Droite $D:(x;y;z)=(1+t;\,2t;\,-t)$ et plan $P:x+y+z=3$ . Déterminer $D\cap P$ .

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Soit $t$ le paramètre de $D$ . On pose la substitution dans $P$ : $(1+t)+2t+(-t)=3$ . On a : $1+2t=3$ , d'où $t=1$ . On obtient le point $(2;2;-1)$ . Conclusion : $D\cap P=\{(2;2;-1)\}$ .

Entraînement 02 / 02

Drill GS-C.2 — distance d'un point à un plan

1 questionCorrigé masqué

Calculer la distance du point $M(1;1;1)$ au plan $P:2x-y+2z-3=0$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose $d=\dfrac{|2-1+2-3|}{\sqrt{4+1+4}}$ . On a : $d=0$ . On obtient $M\in P$ . Conclusion : $d(M,P)=0$ .

Méthode / Automatismes

Vecteur normal d'un plan : $(a;b;c)$ sont exactement les coefficients de $x$ , $y$ , $z$ dans l'équation cartésienne.
Intersection droite/plan : substituer les paramètriques $(x(t),y(t),z(t))$ dans l'équation du plan, résoudre en $t$ , puis calculer les coordonnées.
Droite parallèle au plan : $\vec{n}\cdot\vec{d}=0$ ; incluse si de plus un point de la droite vérifie l'équation du plan.
Distance point-plan : $d=|ax_0+by_0+cz_0+d|/\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ — penser à mettre le plan sous la forme $ax+by+cz+d=0$ avant d'appliquer.

Pièges classiques

Confondre « $\vec{n}\cdot\vec{d}=0$ » (droite parallèle ou incluse dans le plan) avec « la droite est dans le plan » — il faut vérifier en plus qu'un point de la droite appartient au plan. Oublier le terme $d$ dans la formule de distance (le $d$ constant, pas le vecteur directeur). Se tromper de signe en écrivant l'équation du plan.

Variantes rencontrées : Intersection de deux plans (système $2\times3$ , solution droite) ; distance d'une droite à un plan parallèle (substituer n'importe quel point de la droite) ; équation du plan passant par trois points non alignés (calculer deux vecteurs, puis le produit vectoriel pour obtenir $\vec{n}$ ).