GS-DGéométrie dans l’espace

Sphères : équation, plan tangent et positions relatives

Idée directrice

Une sphère de centre $\Omega(a;b;c)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$ . Après développement, elle s'écrit $x^2+y^2+z^2+\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0$ (identifier le centre et le rayon par complétion du carré). La position relative sphère/plan est déterminée en comparant la **distance $d$ du centre au plan** avec le rayon $r$ : $d>r$ (pas d'intersection), $d=r$ (plan tangent), $d<r$ (plan sécant, rayon du cercle section $\rho=\sqrt{r^2-d^2}$ ). Pour une droite, même démarche via le discriminant du système.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Déterminer le centre et le rayon de la sphère $\mathcal{S}$ » ; « Étudier la position du plan $\mathcal{P}$ par rapport à $\mathcal{S}$ » ; « Déterminer l'équation du plan tangent à $\mathcal{S}$ au point $A$ » ; « Calculer le rayon du cercle d'intersection ».

Sujet principal

Exercice 4 — sphère, plan tangent et position relative

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On considère la sphère $\mathcal{S}$ d'équation $x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+9=0$ et le plan $\mathcal{P}:x+2y-2z+1=0$ .

Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $r$ de $\mathcal{S}$ en complétant les carrés.
Vérifier que le point $A(3;-1;1)$ appartient à $\mathcal{S}$ .
Étudier la position relative de $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{P}$ .
1. Calculer la distance $d(\Omega,\mathcal{P})$ .
2. Comparer $d(\Omega,\mathcal{P})$ et $r$ pour conclure.
Dans le cas où $\mathcal{P}$ est sécant à $\mathcal{S}$ , calculer le rayon $\rho$ du cercle d'intersection.
Déterminer l'équation du plan tangent à $\mathcal{S}$ au point $A(3;-1;1)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a : $(x^2-4x)+(y^2+2y)+(z^2-6z)+9=0$ . En complétant les carrés : $(x-2)^2-4+(y+1)^2-1+(z-3)^2-9+9=0$ , soit $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=5$ . On obtient le centre $\Omega(2;-1;3)$ et le rayon $r=\sqrt{5}$ .

2. On sait que $A(3;-1;1)$ est sur $\mathcal{S}$ si et seulement si la distance $\Omega A$ égale $r$ . On a : $(3-2)^2+(-1+1)^2+(1-3)^2=1+0+4=5=r^2$ . Conclusion : $A\in\mathcal{S}$ .

3a. On a : $d(\Omega,\mathcal{P})=\dfrac{|1\cdot2+2\cdot(-1)-2\cdot3+1|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{|-5|}{3}=\dfrac{5}{3}$ .

3b. On compare $d$ et $r$ : $d=\dfrac{5}{3}\approx1{,}67$ et $r=\sqrt{5}\approx2{,}24$ . Or $d<r$ , par suite le plan $\mathcal{P}$ est sécant à $\mathcal{S}$ .

4. On pose $\rho=\sqrt{r^2-d^2}$ . On a : $\rho=\sqrt{5-\dfrac{25}{9}}=\sqrt{\dfrac{20}{9}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ . Conclusion : le rayon du cercle section vaut $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ .

5. Soit $A(3;-1;1)$ le point de $\mathcal{S}$ . On a : $\overrightarrow{\Omega A}=(1;0;-2)$ , vecteur normal au plan tangent. L'équation s'écrit $1(x-3)+0(y+1)-2(z-1)=0$ , d'où $x-2z=1$ . Conclusion : le plan tangent en $A$ a pour équation $x-2z=1$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill GS-D.1 — centre et rayon d'une sphère

1 questionCorrigé masqué

Soit $S:x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0$ . Déterminer son centre et son rayon.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose la complétion des carrés : $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=1+4+9-5=9$ . On a : centre $\Omega(1;-2;3)$ et rayon $r=3$ . On obtient $r=3$ .

Méthode / Automatismes

Centre et rayon : compléter le carré pour $(x-a)^2$ , $(y-b)^2$ , $(z-c)^2$ , puis $r^2 =$ constante résiduelle. Vérifier $r^2>0$ .
Position sphère/plan : calculer $d=d(\Omega,\mathcal{P})$ et comparer à $r$ : $d>r$ (ext.), $d=r$ (tangent), $d<r$ (sécant, $\rho=\sqrt{r^2-d^2}$ ).
**Plan tangent en $A\in\mathcal{S}$ :** vecteur normal $=\overrightarrow{\Omega A}$ , puis équation $\overrightarrow{\Omega A}\cdot\overrightarrow{AM}=0$ .
Appartenance : substituer les coordonnées dans l'équation $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$ ou directement dans la forme développée.

Pièges classiques

Oublier de prendre la racine carrée ( $r^2=5$ $\Rightarrow$ $r=\sqrt{5}$ , pas $r=5$ ). Mal signer lors de la complétion du carré : $(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$ $\Rightarrow$ le terme à compenser est $+a^2$ (à retrancher). Confondre le vecteur normal au plan tangent ( $\overrightarrow{\Omega A}$ ) et le vecteur normal au plan sécant ( $\vec{n}$ du plan $\mathcal{P}$ ).

Variantes rencontrées : Position relative sphère/droite (résoudre le système paramétrique dans l'équation de la sphère, analyser le discriminant) ; déterminer les points de tangence d'un plan donné avec une sphère ; trouver l'équation d'une sphère passant par quatre points.