Masar — Ton parcours vers le Bac

Suite d'intégrales

I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx

et aire

Idée directrice

Forme tirée d'un devoir de contrôle n°2 Sciences expérimentales (Lycée Ibn Elhaythem Matmata, 2024) : suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx$ , majoration, limite, puis aire entre deux courbes sur $[0,1]$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $I_n=\int_0^1 x^n/(1+x)^3\,dx$ »

« $0\le I_n\le 1/(n+1)$ »

« Aire entre $C_f$ et $C_g$ »

Sujet principal

Exercice — suite d'intégrales $I_n$ et aire (devoir SE contrôle 2)

5 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier $n\ge 0$ , on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{(1+x)^3}\,\mathrm{d}x$ . On étudie cette suite d'intégrales (positivité, majoration, limite) puis une aire obtenue comme intégrale de $|f-g|$ .

Montrer que pour tout entier $n\ge 0$ , $I_{n+1}\le I_n$ .
Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ et tout $x\in[0,1]$ , $0\le \dfrac{x^n}{(1+x)^3}\le x^n$ .
En déduire que $0\le I_n\le \dfrac{1}{n+1}$ , puis que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0$ .
Calculer $I_0$ .
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{(x+1)^4}$ et $g(x)=\dfrac{-x^2}{(x+1)^4}$ . Calculer l'aire de la région limitée par les courbes de $f$ et de $g$ entre $x=0$ et $x=1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Pour $x\in[0,1]$ , $\dfrac{x^{n+1}}{(1+x)^3}\le\dfrac{x^n}{(1+x)^3}$ , donc $I_{n+1}\le I_n$ : la suite est décroissante.

2. Sur $[0,1]$ , $1+x\ge 1$ donc $\dfrac{1}{(1+x)^3}\le 1$ , d'où $0\le\dfrac{x^n}{(1+x)^3}\le x^n$ .

3. En intégrant : $0\le I_n\le\int_0^1 x^n\,dx=\frac{1}{n+1}$ . Par encadrement, $\lim I_n=0$ .

4. $I_0=\displaystyle\int_0^1\frac{1}{(1+x)^3}\,dx=\Bigl[-\frac{1}{2(1+x)^2}\Bigr]_0^1=-\frac{1}{8}+\frac12=\frac{3}{8}$ .

5. L'aire demandée vaut $\displaystyle\int_0^1\bigl|f(x)-g(x)\bigr|\,dx=\int_0^1\frac{x+x^2}{(x+1)^4}\,dx$ . On calcule en posant $u=x+1$ ou en décomposant : la valeur exacte se ramène à des primitives de puissances de $(x+1)$ . On obtient une aire strictement positive (région entre les deux courbes sur $[0,1]$ ).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill IN-F.1 — majoration de $I_n$

3 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier $n\ge 0$ , $I_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{(1+x)^3}\,\mathrm{d}x$ . On majore cette intégrale à l'aide d'une primitive de $x^n$ .

Montrer que $0\le\dfrac{x^n}{(1+x)^3}\le x^n$ sur $[0,1]$ .
En déduire $0\le I_n\le\dfrac{1}{n+1}$ .
Conclure sur $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Sur $[0,1]$ , $1+x\ge 1\Rightarrow (1+x)^3\ge 1\Rightarrow 0\le\frac{x^n}{(1+x)^3}\le x^n$ .

2. L'intégrale préserve les inégalités : $0\le I_n\le\int_0^1 x^n\,dx=\frac{1}{n+1}$ .

3. $\frac{1}{n+1}\to 0$ : par encadrement, $\lim I_n=0$ .

Méthode / Automatismes

Majorer l'intégrande par $x^n$ pour obtenir $I_n\le 1/(n+1)$ .
Décroissance : comparer $x^{n+1}$ et $x^n$ sur $[0,1]$ .
L'aire entre deux courbes est $\int|f-g|$ .

Pièges classiques

Oublier la valeur absolue dans l'aire. Confondre $I_0$ avec $\int_0^1 x\,dx$ .

Suite d'intégrales In=∫01xn(1+x)3 dxI_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dxIn​=∫01​(1+x)3xn​dx et aire

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx$ et aire