IN-EPrimitivisation et calcul intégral

Intégrales $I=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx$ et $J=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx$

Idée directrice

Forme tirée d'un devoir de contrôle n°3 Sciences expérimentales (Lycée Tahar Sfar, Mahdia, 2018) : couple d'intégrales $I$ et $J$ de $\cos^4$ et $\sin^4$ , intégration par parties, calcul via $I+J$ et $I-J$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $I=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx$ , $J=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx$ »

« Intégration par parties »

« $I+J=3\pi/8$ , $I-J=0$ »

Sujet principal

Exercice — couple d'intégrales $I$ et $J$ (devoir SE contrôle 3)

5 questionsCorrigé masqué

On considère les intégrales $I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,\mathrm{d}x$ et $J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,\mathrm{d}x$ . L'objectif est le calcul d'intégrale par primitive et intégration par parties, éventuellement via des sommes d'intégrales $I+J$ et $I-J$ .

Vérifier que pour tout réel $x$ , $\cos^4 x=\cos x\cdot\cos^3 x$ et $\cos^3 x=\cos x\,(1-\sin^2 x)$ .
À l'aide d'une intégration par parties, établir une relation liant $I$ et $J$ (comme dans le devoir : $I$ s'exprime à l'aide de $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,\mathrm{d}x$ et de $J$ ).
On admet la relation symétrique pour $J$ . Montrer que $I+J=\dfrac{3\pi}{8}$ .
Montrer que $I-J=0$ .
En déduire les valeurs de $I$ et de $J$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\cos^4 x=\cos x\cdot\cos^3 x$ et $\cos^3 x=\cos x\cdot\cos^2 x=\cos x\,(1-\sin^2 x)$ .

2. En posant par exemple $u=\cos^3 x$ et $v'=\cos x$ (IPP du devoir), on obtient une relation du type $I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,\mathrm{d}x - J$ avec le coefficient issu de $u'=-3\cos^2 x\sin x$ (facteur $\frac13$ dans le corrigé type du devoir). On admet ensuite la relation symétrique pour $J$ .

3. $I+J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos^4 x+\sin^4 x)\,dx=\int_0^{\pi/2}\bigl((\cos^2 x+\sin^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x\bigr)\,dx=\int_0^{\pi/2}\bigl(1-\frac12\sin^2 2x\bigr)\,dx=\int_0^{\pi/2}\bigl(1-\frac{1-\cos 4x}{4}\bigr)\,dx=\int_0^{\pi/2}\frac{3+\cos 4x}{4}\,dx=\frac{3\pi}{8}$ .

4. $I-J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos^4 x-\sin^4 x)\,dx=\int_0^{\pi/2}(\cos^2 x-\sin^2 x)\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos 2x\,dx=\bigl[\frac12\sin 2x\bigr]_0^{\pi/2}=0$ .

5. De $I+J=\frac{3\pi}{8}$ et $I-J=0$ , on tire $I=J=\frac{3\pi}{16}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill IN-E.1 — calcul de $I+J$

3 questionsCorrigé masqué

On pose les intégrales $I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,\mathrm{d}x$ et $J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,\mathrm{d}x$ . On calcule des intégrales en s'appuyant sur des primitives et des sommes $I+J$ .

Exprimer $\cos^4 x+\sin^4 x$ à l'aide de $\sin 2x$ .
En déduire la valeur de l'intégrale $I+J$ .
Justifier sans calcul que $I=J$ par le changement $t=\frac{\pi}{2}-x$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\cos^4+\sin^4=(\cos^2+\sin^2)^2-2\sin^2\cos^2=1-\frac12\sin^2 2x$ .

2. $I+J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\bigl(1-\frac{1-\cos 4x}{4}\bigr)\,dx=\frac{3\pi}{8}$ .

3. Le changement $t=\frac{\pi}{2}-x$ échange $\sin$ et $\cos$ et préserve les bornes : $I=J$ . Chaque intégrale vaut $\frac{3\pi}{16}$ .

Méthode / Automatismes

Utiliser les identités $\cos^2+\sin^2=1$ et $\cos^2-\sin^2=\cos 2x$ .
L'IPP relie $I$ à $J$ ; la somme $I+J$ se calcule sans résoudre le système complet.
La parité/symétrie $\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x$ donne aussi $I=J$ .

Pièges classiques

Oublier le facteur $2$ dans $\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x$ . Conclure $I=0$ à partir de $I-J=0$ sans utiliser $I+J$ .

Intégrales I=∫0π/2cos⁡4x dxI=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dxI=∫0π/2​cos4xdx et J=∫0π/2sin⁡4x dxJ=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dxJ=∫0π/2​sin4xdx

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Intégrales $I=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx$ et $J=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx$