Fonction $f(x)=(x+1)^2-x\mathrm{e}^{x}$ : variations et aire

1. En $-\infty$, $(x+1)^2\to+\infty$ et $-x e^{x}\to 0$ (car $e^{x}\to 0$ plus vite que $x\to-\infty$ croît en module dans l'autre sens — en fait $-x e^{x}\to 0$), d'où $f\to+\infty$ avec branche parabolique. En $+\infty$, $-x e^{x}\to-\infty$ domine : $f\to-\infty$.

2. $f'(x)=2(x+1)-\bigl(e^{x}+x e^{x}\bigr)=2(x+1)-e^{x}(x+1)=(x+1)(2-e^{x})$.

3. $f'(x)=0$ en $x=-1$ et $x=\ln 2$. Signe : $f'$ négative sur $]-\infty,-1[$, positive sur $]-1,\ln 2[$, négative sur $]\ln 2,+\infty[$. Maximum local en $\ln 2$, minimum local en $-1$.

4. $h(x)=e^{x}-(x+1)$ : $h'(x)=e^{x}-1$, minimum en $0$ avec $h(0)=0$, donc $h\ge 0$ sur $\mathbb{R}$.

5. $g-f=e^{x}-(x+1)^2+x e^{x}=(x+1)e^{x}-x-1$ ; le corrigé calcule $A=\int_{-1}^{0}(e^{x}+x e^{x}-x^2-2x-1)\,dx=\bigl[x e^{x}-\frac{x^3}{3}-x^2-x\bigr]_{-1}^{0}=-\bigl(-\frac1e-\frac13\bigr)=\frac1e+\frac13$ en valeur absolue selon l'orientation ; le corrigé 2018 donne $A=-(\frac1e+\frac13)$ puis prend le sens géométrique de l'aire positive $\frac1e+\frac13$.