LC-BLimites et continuité

Calcul de limites et formes indéterminées

Idée directrice

L'exercice présente des limites avec formes indéterminées ( $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ ). La stratégie est de lever la FI par l'une des techniques canoniques : factorisation par le terme dominant, conjugué algébrique, ou changement de variable (par exemple $X=1/x$ quand $x\to+\infty$ , ou $X=x-a$ quand $x\to a$ ). On utilise aussi les limites usuelles $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ et $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{\cdots}-x)$ » ; « Lever la forme indéterminée » ; « Calculer les limites suivantes en précisant les formes indéterminées ».

Sujet principal

Exercice 2 — calcul de limites

5 questionsCorrigé masqué

Calculer les limites suivantes en justifiant chaque étape.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x+1}-x\right)$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{\tan(2x)}$
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x^3-x+1}{x^3+5x^2}$
$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-3x+2}{x^2-1}$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left(e^{1/x}-1\right)$

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On pose le calcul de la forme indéterminée $\infty-\infty$ en multipliant par le conjugué : $\sqrt{x^2+3x+1}-x = \dfrac{(x^2+3x+1)-x^2}{\sqrt{x^2+3x+1}+x} = \dfrac{3x+1}{\sqrt{x^2+3x+1}+x}$ . Pour $x\to+\infty$ , $\sqrt{x^2+3x+1}\sim x$ , donc le dénominateur $\sim 2x$ , et on obtient $\dfrac{3x+1}{2x}\to\dfrac{3}{2}$ . Conclusion : la limite vaut $\dfrac{3}{2}$ .

2. On a : $\dfrac{\sin(3x)}{\tan(2x)}=\dfrac{\sin(3x)}{3x}\cdot\dfrac{2x}{\tan(2x)}\cdot\dfrac{3x}{2x}$ . Quand $x\to0$ : premier facteur $\to1$ , deuxième $\to1$ , troisième $=\dfrac{3}{2}$ . Conclusion : la limite est $\dfrac{3}{2}$ .

3. On pose la factorisation par le terme dominant $x^3$ : $\dfrac{2x^3-x+1}{x^3+5x^2}=\dfrac{x^3(2-1/x^2+1/x^3)}{x^3(1+5/x)}$ . On obtient $\dfrac{2-0+0}{1+0}=2$ . Conclusion : la limite vaut $2$ .

4. On a : $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$ et $x^2-1=(x-1)(x+1)$ , d'où $\dfrac{x^3-3x+2}{x^2-1}=\dfrac{(x-1)(x+2)}{x+1}\xrightarrow[x\to1]{}\dfrac{0\cdot3}{2}=0$ . Conclusion : la limite vaut $0$ .

5. On pose $t=1/x\to0^+$ : $x(e^{1/x}-1)=\dfrac{e^t-1}{t}\to1$ . Conclusion : la limite vaut $1$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill LC-B.3 — limite trigonométrique usuelle

1 questionCorrigé masqué

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{\tan(2x)}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose $\dfrac{\sin3x}{\tan2x}=\dfrac{\sin3x}{3x}\cdot\dfrac{2x}{\tan2x}\cdot\dfrac{3}{2}$ . On a : les deux premiers facteurs tendent vers $1$ . On obtient $\dfrac32$ .

Méthode / Automatismes

$\infty-\infty$ avec radicaux : conjugué $\sqrt{A}-\sqrt{B}=\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$ (ou factoriser $\sqrt{x^2+\cdots}=x\sqrt{1+\cdots}$ pour $x>0$ ).
$\frac{0}{0}$ en $x=a$ : chercher le facteur $(x-a)$ commun (décomposition en facteurs). Règle de Bernoulli-L'Hôpital si l'énoncé l'autorise.
$\frac{\infty}{\infty}$ : factoriser par la plus grande puissance au dénominateur.
$0\times\infty$ : réécrire sous forme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ , ou utiliser $\frac{e^t-1}{t}\to1$ , $\frac{\sin t}{t}\to1$ .

Pièges classiques

Écrire $\sqrt{x^2}=x$ sans vérifier que $x>0$ (pour $x<0$ on a $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ ). Appliquer la limite $\frac{\sin u}{u}\to1$ sans s'assurer que $u\to0$ (et non $u\to\infty$ ). Factoriser $(x-1)$ numérateur/dénominateur sans vérifier d'abord que $x=1$ est bien racine.

Variantes rencontrées : Limites en $\pm\infty$ impliquant $\ln$ ou $e^x$ (croissances comparées) ; FI $1^\infty$ (réécriture $u^v=e^{v\ln u}$ ).