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Limites, asymptotes et variations — fonction

1/\ln x

Idée directrice

Forme attestée en 2022 session principale, exercice 4 (mode `fonction_1_sur_ln`) : une seule fonction $f=1/\ln x$ sur $]1,+\infty[$ , enchaînement limites → interprétation asymptotique → dérivée → tableau de variation → unicité d'une racine de $f(x)=x$ . Ce n'est pas un drill de limite isolée : la même $f$ porte tout l'exercice.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Soit $f$ définie sur $]1,+\infty[$ par $f(x)=1/\ln x$ »

« Calculer $\lim_{x\to 1^+}f(x)$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ . Interpréter graphiquement »

« Dresser le tableau de variation de $f$ »

« Montrer que $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha<e$ »

Sujet principal

Exercice — étude composite de $f(x)=1/\ln x$ (esprit 2022 principale, ex.4)

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $]1,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{\ln x}$ . On se propose d'étudier les limites de $f$ , sa continuité et ses branches infinies, puis ses variations.

Calculer la limite de $f$ en $1^+$ et la limite de $f$ en $+\infty$ . Interpréter graphiquement chaque limite (asymptote verticale, asymptote horizontale).
Justifier la continuité de $f$ sur $]1,+\infty[$ .
Montrer que pour tout $x>1$ , $f'(x)=-\dfrac{1}{x(\ln x)^2}$ . En déduire que $f$ est strictement décroissante sur $]1,+\infty[$ et dresser le tableau de variation de $f$ .
Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet sur $]1,+\infty[$ une unique solution $\alpha$ avec $\alpha<\mathrm{e}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Limites et asymptotes. On a $\ln x\to 0^+$ quand $x\to 1^+$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$ : la droite $x=1$ est asymptote verticale à la courbe. Quand $x\to+\infty$ , $\ln x\to+\infty$ , d'où $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ : la droite $y=0$ est asymptote horizontale à l'infini.

2. Continuité. Sur $]1,+\infty[$ , $\ln x$ est continue et ne s'annule pas ( $\ln x>0$ ). Le quotient de deux fonctions continues à dénominateur non nul est continue : $f$ est continue sur $]1,+\infty[$ .

3. Dérivée et variations. On a $f=(\ln)^{-1}$ , d'où $f'(x)=-\dfrac{1}{(\ln x)^2}\cdot\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{x(\ln x)^2}<0$ pour tout $x>1$ . Par suite $f$ est strictement décroissante sur $]1,+\infty[$ . Tableau de variation : $f$ décroît de $+\infty$ (en $1^+$ ) à $0$ (en $+\infty$ ). On a notamment $f(\mathrm{e})=1$ .

**4. Unicité de $\alpha$ .** Soit $h(x)=f(x)-x$ sur $]1,+\infty[$ . $h$ est continue et strictement décroissante (somme de deux fonctions strictement décroissantes), avec $h\to+\infty$ en $1^+$ et $h\to-\infty$ en $+\infty$ . Il en résulte une unique racine $\alpha$ . Or $h(\mathrm{e})=1-\mathrm{e}<0$ , donc $\alpha<\mathrm{e}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill LC-A.1 — limites et asymptotes d'une fonction du type $1/\ln$

3 questionsCorrigé masqué

Soit $h$ la fonction définie sur $]1,+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{2}{\ln x}$ . On s'intéresse uniquement aux limites et à l'interprétation asymptotique.

Calculer la limite de $h$ en $1^+$ et la limite de $h$ en $+\infty$ .
En déduire les asymptotes de la courbe de $h$ (verticale et horizontale) au voisinage de $1$ et à l'infini.
Justifier brièvement la continuité de $h$ sur $]1,+\infty[$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Quand $x\to 1^+$ , $\ln x\to 0^+$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}h(x)=+\infty$ . Quand $x\to+\infty$ , $\ln x\to+\infty$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$ .

2. La limite infinie en $1^+$ prouve que la droite $x=1$ est asymptote verticale. La limite nulle en $+\infty$ prouve que $y=0$ est asymptote horizontale à l'infini.

3. $\ln x$ est continue et strictement positive sur $]1,+\infty[$ : le quotient $2/\ln x$ est continu sur ce domaine.

Méthode / Automatismes

Toujours calculer les deux limites aux bornes du domaine avant le tableau.
Asymptote verticale : limite infinie en une abscisse finie ; horizontale : limite finie en $\pm\infty$ .
Le signe de $f'$ fixe le sens de variation ; le tableau synthétise limites + signe.
Pour $f(x)=x$ : étudier $h=f-\mathrm{id}$ (continuité + stricte monotonie $\Rightarrow$ unicité).

Pièges classiques

Confondre l'asymptote verticale $x=1$ avec $x=0$ (erreur fréquente sur $1/\ln x$ ). Oublier que $\ln x>0$ sur $]1,+\infty[$ pour le signe de $f'$ . Affirmer $\alpha=\mathrm{e}$ alors que $f(\mathrm{e})=1\neq\mathrm{e}$ .

Limites, asymptotes et variations — fonction 1/ln⁡x1/\ln x1/lnx

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Limites, asymptotes et variations — fonction $1/\ln x$