Masar
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Bac Tunisie
Mathématiques/LC-C
Entraîner la reconnaissance
LC-CLimites et continuité

Asymptotes, continuité et variations — f(x)=ex/xf(x)=\mathrm{e}^{x}/x

Idée directrice

Forme attestée en 2016 session principale, exercice 4 (modes `asymptotes_variations_reciproque` / `limites_et_famille_de_courbes`) : limites aux bornes, lecture d'asymptotes, tableau de variation, puis restrictions bijectives. La fonction ex/xe^{x}/x reprend le geste « asymptote verticale en 00 + branche à l'infini » du corpus.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer lim⁡f(x)\lim f(x). Interpréter graphiquement »

« La droite x=0x=0 est une asymptote »

« Dresser le tableau de variation de ff »

« Montrer que g1g_1 réalise une bijection de ]0,1]]0,1] sur… »

Sujet principal

Exercice — limites, asymptotes et variations de ex/xe^{x}/x (esprit 2016 principale, ex.4)

5 questionsCorrigé masqué

Soit ff la fonction définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[ par f(x)=exxf(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}. On étudie les limites, les asymptotes, la continuité et les variations de ff.

  1. Calculer la limite de ff en 0+0^+ et la limite de ff en +∞+\infty. Interpréter graphiquement : asymptote verticale d'équation x=0x=0, et comportement à l'infini.
  2. Justifier la continuité de ff sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
  3. Calculer f′(x)f'(x). Lever la forme indéterminée éventuelle pour le signe de f′f'. Dresser le tableau de variation de ff (minimum, décroissante puis croissante).
  4. Étudier le terme dominant de f(x)f(x) en +∞+\infty et en déduire le comportement asymptotique de la courbe.
  5. Soit g1=f∣]0,1]g_1=f|_{]0,1]} et g2=f∣[1,+∞[g_2=f|_{[1,+\infty[}. Montrer que g1g_1 et g2g_2 réalisent chacune une bijection sur un intervalle image à préciser.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Limites et asymptotes. En 0+0^+ : ex→1\mathrm{e}^{x}\to 1 et x→0+x\to 0^+, donc lim⁡x→0+f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty : la droite x=0x=0 est asymptote verticale. En +∞+\infty : croissances comparées, ex\mathrm{e}^{x} l'emporte sur xx, d'où lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty (branche à l'infini).

2. Continuité. ex\mathrm{e}^{x} et xx sont continues sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et x≠0x\neq 0 : le quotient ff est continu sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

3. Dérivée et tableau. f′(x)=ex(x−1)x2f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}(x-1)}{x^2}. Le dénominateur est positif ; le signe de f′f' est celui de x−1x-1. Forme éventuellement indéterminée au numérateur levée par factorisation. Ainsi ff est strictement décroissante sur ]0,1]]0,1] et strictement croissante sur [1,+∞[[1,+\infty[, avec un minimum en x=1x=1 : f(1)=ef(1)=\mathrm{e}.

4. Terme dominant. En +∞+\infty, le facteur dominant est ex\mathrm{e}^{x} : f(x)∼ex/x→+∞f(x)\sim\mathrm{e}^{x}/x\to+\infty. Il n'y a pas d'asymptote horizontale ; la courbe admet une branche parabolique de direction asymptotique verticale (comportement plus rapide que toute droite y=ax+by=ax+b).

5. Restrictions bijectives. g1g_1 est continue strictement décroissante de ]0,1]]0,1] sur [e,+∞[[\mathrm{e},+\infty[ : bijection. g2g_2 est continue strictement croissante de [1,+∞[[1,+\infty[ sur [e,+∞[[\mathrm{e},+\infty[ : bijection.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill LC-C.1 — lecture d'asymptotes à partir des limites

2 questionsCorrigé masqué

Soit kk la fonction définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[ par k(x)=e2xxk(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{x}. On demande uniquement les limites et leur lecture graphique.

  1. Calculer la limite de kk en 0+0^+ et la limite de kk en +∞+\infty.
  2. En déduire l'asymptote verticale de la courbe de kk et préciser le comportement à l'infini.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. En 0+0^+ : e2x→1\mathrm{e}^{2x}\to 1 et x→0+x\to 0^+, donc lim⁡x→0+k(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}k(x)=+\infty. En +∞+\infty : croissances comparées donnent lim⁡x→+∞k(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}k(x)=+\infty.

2. La limite infinie en 0+0^+ prouve que x=0x=0 est asymptote verticale. En +∞+\infty il n'y a pas d'asymptote horizontale : branche à l'infini.

Méthode / Automatismes
  • Limite en 0+0^+ d'un quotient avec dénominateur →0+\to 0^+ et numérateur →L≠0\to L\neq 0 : asymptote verticale.
  • Signe de f′f' par facteur (x−1)(x-1) après simplification.
  • Minimum global au changement de monotonie si f′ ⁣≤0f'\!\le 0 puis f′ ⁣≥0f'\!\ge 0.
  • Bijection des restrictions : continuité + stricte monotonie + image des bornes.
Pièges classiques

Conclure à une asymptote horizontale en +∞+\infty alors que f→+∞f\to+\infty. Oublier le domaine x>0x>0 et parler de limite en −∞-\infty. Se tromper sur l'image de g1g_1 (ce n'est pas ]0,+∞[]0,+\infty[).