LC-DLimites et continuité

Asymptote verticale et asymptote oblique

Idée directrice

On lit une asymptote verticale quand $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ , et une asymptote oblique $y=ax+b$ au voisinage de $+\infty$ quand $\lim(f(x)-(ax+b))=0$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« asymptote verticale »

« asymptote oblique »

« lim f(x) − (x − 1) = 0 »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=x-1+\dfrac{\ln x}{x}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe (esprit bac info 2017 principale).

Calculer $\lim_{x\to 0^+}f(x)$ . En déduire une asymptote verticale à $\mathcal{C}$ .
Calculer $\lim_{x\to +\infty}f(x)$ . Montrer que $\lim_{x\to +\infty}\big(f(x)-(x-1)\big)=0$ et en déduire une asymptote oblique.
Sans calcul de dérivée détaillé : que signifie graphiquement la présence simultanée de ces deux asymptotes pour le comportement de $f$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$ et $x-1\to -1$ , $\dfrac{\ln x}{x}\to -\infty$ : $\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$ . La droite $x=0$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}$ (corrigé 2017).

\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

f(x)-(x-1)=\dfrac{\ln x}{x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0

Donc

y=x-1

est une asymptote oblique à

\mathcal{C}

au voisinage de

+\infty

(corrigé 2017).

3. Près de $0^+$ , la courbe plonge le long de l'axe des ordonnées ; en $+\infty$ , elle se rapproche de la droite $y=x-1$ (branche parabolique / asymptote oblique).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill LC-D.1 — Lire une asymptote horizontale

1 questionCorrigé masqué

On a montré $\lim_{x\to +\infty}f(x)=0$ pour une fonction $f$ (esprit corrigé 2016 info). Quelle asymptote en déduit-on pour la courbe, et au voisinage de quoi ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

L'axe des abscisses ( $y=0$ ) est une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$ . Le corrigé bac info 2016 le formule ainsi : dès que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ , « la courbe (Cf) admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale au voisinage de (+∞) ». On ne confond pas avec une asymptote verticale (limite infinie en un réel fini).

Méthode / Automatismes

Verticale : limite infinie en un réel fini.
Oblique : chercher $a=\lim f(x)/x$ puis $b=\lim(f(x)-ax)$ .

Pièges classiques

Conclure asymptote horizontale dès que $\lim f=+\infty$ ; oublier de vérifier $\lim(f-(ax+b))=0$ .