S-CIsométries et similitudes

Antidéplacements : réflexion et symétrie glissante

Idée directrice

Un antidéplacement (isométrie indirecte, $z'=a\bar z+b$ avec $|a|=1$ ) est soit une réflexion (s'il a des points fixes : ils forment son axe), soit une symétrie glissante (s'il n'en a aucun). Le test décisif est donc la recherche des points fixes ; en l'absence, on décompose en réflexion suivie d'une translation le long de l'axe.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Montrer que $f$ est un antidéplacement » ; « déterminer les points fixes » ; « en déduire la nature de $f$ ».

Sujet principal

Exercice 3 — réflexion ou symétrie glissante ?

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f:\ z'=\i\bar z+1+\i$ .

Vérifier que $f$ est un antidéplacement.
Déterminer l'ensemble des points fixes de $f$ .
En déduire la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a : $f(z)=\i\bar z+1+\i$ . La présence de $\bar z$ et le module $|\i|=1$ caractérisent un antidéplacement. Conclusion : $f$ est un antidéplacement.

2. On pose $z=x+\i y$ et $\bar z=x-\i y$ . L'équation des points fixes $z=\i\bar z+1+\i$ devient $x+\i y=\i(x-\i y)+1+\i=(y+1)+\i(x+1)$ . On obtient $x=y+1$ et $y=x+1$ , soit $x-y=1$ et $y-x=1$ , conditions incompatibles. Or le système n'a pas de solution, par suite $f$ n'admet aucun point fixe. Conclusion : l'ensemble des points fixes de $f$ est vide.

3. On sait qu'un antidéplacement sans point fixe est une symétrie glissante. On calcule $f\circ f$ : $f(f(z))=\i\overline{(\i\bar z+1+\i)}+1+\i=\i(-\i z+1-\i)+1+\i=z+2+2\i$ . On obtient $f\circ f=t_{2\vec u}$ avec $2\vec u$ d'affixe $2+2\i$ , d'où $\vec u$ d'affixe $1+\i$ . L'axe $\Delta$ est la droite dirigée par $\vec u$ passant par le milieu d'un point et de son image. Conclusion : $f$ est la symétrie glissante de vecteur $\vec u$ d'affixe $1+\i$ .

Méthode / Automatismes

Antidéplacement $\iff$ écriture $z'=a\bar z+b$ avec $|a|=1$ .
Points fixes : résoudre $z=a\bar z+b$ (poser $z=x+\i y$ ). Une droite $\to$ réflexion (c'est l'axe) ; ensemble vide $\to$ symétrie glissante.
Symétrie glissante : $f\circ f=t_{2\vec u}$ donne le vecteur $\vec u$ ; l'axe est parallèle à $\vec u$ .
Une réflexion vérifie $f\circ f=\mathrm{id}$ ; une symétrie glissante non (son carré est une translation non nulle).

Pièges classiques

Conclure « réflexion » sans avoir cherché les points fixes. Oublier qu'un antidéplacement sans point fixe existe (la symétrie glissante). Calculer $f\circ f$ en oubliant de conjuguer le terme constant lors de la substitution.