S-EIsométries et similitudes

Similitude indirecte et forme réduite

Idée directrice

La similitude indirecte ( $z'=a\bar z+b$ , $|a|\neq1$ ) se décompose en forme réduite : composée d'une homothétie et d'une réflexion de même centre, ou d'une similitude directe et d'une réflexion. On extrait le rapport $|a|$ , et l'on identifie l'axe de la réflexion associée. C'est le scénario le plus technique, souvent réservé aux questions finales.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Soit $s$ d'écriture $z'=a\bar z+b$ » avec $|a|\neq1$ ; « décomposer $s$ ».

Sujet principal

Exercice 5 — nature d'une similitude indirecte

3 questionsCorrigé masqué

Soit $s:\ z'=2\bar z+3$ .

Montrer que $s$ est une similitude indirecte et donner son rapport.
Déterminer l'ensemble des points fixes de $s$ .
Décomposer $s$ sous la forme $h\circ \sigma$ où $h$ est une homothétie et $\sigma$ une réflexion.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a : $s(z)=2\bar z+3$ . La présence de $\bar z$ et le module $|2|=2\neq1$ caractérisent une similitude indirecte de rapport $2$ . Conclusion : $s$ est une similitude indirecte de rapport $2$ .

2. On pose $z=x+\i y$ . Les points fixes vérifient $z=2\bar z+3$ , soit $x+\i y=2(x-\i y)+3=(2x+3)-2\i y$ . On obtient $x=2x+3$ et $y=-2y$ , d'où $x=-3$ et $y=0$ . Or le système admet une unique solution, par suite le seul point fixe est $\Omega(-3;0)$ .

3. On sait que $\Omega$ est fixe. En centrant : $z'-\omega=2\,\overline{(z-\omega)}$ avec $\omega=-3$ . On obtient la composée de la réflexion $\sigma$ d'axe l'horizontale passant par $\Omega$ et de l'homothétie $h$ de centre $\Omega$ et de rapport $2$ . Conclusion : $s=h\circ\sigma$ avec $h=h(\Omega,2)$ et $\sigma$ la réflexion d'axe $y=0$ passant par $\Omega$ .

Méthode / Automatismes

Similitude indirecte $\iff z'=a\bar z+b$ , $|a|\neq1$ ; rapport $|a|$ .
Point fixe : résoudre $z=a\bar z+b$ ; en général un seul point fixe $\Omega$ (le centre).
Forme réduite : centrer en $\Omega$ pour obtenir $z'-\omega=a\,\overline{(z-\omega)}$ , produit d'une homothétie de rapport $|a|$ et d'une réflexion (axe passant par $\Omega$ , dirigé par un argument lié à $\arg a$ ).
Contrôle : $s\circ s$ est une similitude directe de rapport $|a|^2$ (deux indirectes se composent en directe).

Pièges classiques

Chercher un « angle » pour une similitude indirecte (elle n'en a pas au sens des directes : elle inverse les angles orientés). Appliquer $\frac{b}{1-a}$ pour le centre (valable seulement en direct ; ici on résout $z=a\bar z+b$ ).