S-AIsométries et similitudes

Déplacement défini par les images de deux points

Idée directrice

Quand un déplacement est donné par les images de deux points distincts — « il existe un unique déplacement $f$ tel que $f(A)=A'$ et $f(B)=B'$ » — on décide d'abord s'il s'agit d'une translation ( $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}$ ) ou d'une rotation (sinon, d'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'})$ ). Le point fixe de la rotation s'obtient comme intersection des médiatrices de $[AA']$ et $[BB']$ . C'est l'entrée la plus fréquente du bac sur les isométries, bien avant toute écriture en nombres complexes.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« il existe un unique déplacement $f$ tel que $f(A)=A'$ et $f(B)=B'$ » ; « préciser la nature de $f$ » ; « déterminer le centre et l'angle de la rotation »

Sujet principal

Exercice — unique déplacement envoyant deux points sur deux points

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $OABC$ un carré de sens direct. On note $I$ le milieu de $[OB]$ (également milieu de $[AC]$ ). On rappelle qu'une isométrie qui conserve l'orientation est un déplacement, et qu'un déplacement non trivial est soit une translation, soit une rotation.

Justifier qu'il existe un unique déplacement $f$ tel que $f(O)=A$ et $f(A)=B$ .
Montrer que ce déplacement $f$ n'est pas une translation. En déduire que $f$ est une rotation, et préciser une mesure de son angle $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AB})$ .
Déterminer Le centre $\Omega$ de la rotation $f$ comme intersection des médiatrices de $[OA]$ et de $[AB]$ . Vérifier que $\Omega$ coïncide avec $I$ .
Calculer $f(C)$ et $f(I)$ . En déduire la nature de l'isométrie $f\circ f$ (rotation d'angle $\pi$ autour du même centre).
On munit le plan du repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})$ . Déterminer l'écriture complexe de la rotation $f$ .

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1. Idée : existence et unicité d'un déplacement défini par deux images. On a $OA=AB$ (côtés du carré) et $O\neq A$ , $A\neq B$ . Or, pour tout couple de points distincts $(M,N)$ et $(M',N')$ tels que $MN=M'N'\neq 0$ , il existe un unique déplacement envoyant $M$ sur $M'$ et $N$ sur $N'$ . Ici $OA=AB\neq 0$ , d'où l'existence et l'unicité du déplacement $f$ tel que $f(O)=A$ et $f(A)=B$ . $\boxed{f\text{ unique déplacement avec }f(O)=A,\;f(A)=B}$

2. Idée : translation si et seulement si les deux vecteurs images coïncident. On compare $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{AB}$ . Dans le carré de sens direct, $\overrightarrow{AB}$ s'obtient en tournant $\overrightarrow{OA}$ d'un angle $\dfrac{\pi}{2}$ , donc $\overrightarrow{OA}\neq\overrightarrow{AB}$ . Par suite $f$ n'est pas une translation. Un déplacement qui n'est pas une translation est une rotation ; son angle est $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AB})\equiv\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ . $\boxed{f=\text{rotation d'angle }\pi/2}$

3. Idée : le centre d'une rotation est sur chaque médiatrice d'un segment joignant un point à son image. Le centre $\Omega$ de $f$ vérifie $\Omega O=\Omega A$ et $\Omega A=\Omega B$ , donc $\Omega$ appartient à la médiatrice de $[OA]$ et à celle de $[AB]$ . Ces deux médiatrices se coupent en un unique point, le centre $I$ du carré, milieu de $[OB]$ et de $[AC]$ . Or $I$ est équidistant de $O$ et $A$ , et de $A$ et $B$ , d'où $\Omega=I$ , ce qui prouve que $f$ est la rotation de centre $I$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ . $\boxed{\Omega=I}$

4. Idée : une rotation d'angle $\pi/2$ autour de $I$ envoie les sommets du carré sur les sommets suivants. La rotation de centre $I$ et d'angle $\pi/2$ qui envoie $O$ sur $A$ envoie $A$ sur $B$ , $B$ sur $C$ et $C$ sur $O$ ; elle fixe $I$ . Donc $f(C)=O$ et $f(I)=I$ . Par suite $f\circ f$ est la rotation de même point fixe $I$ et d'angle $\pi$ (isométrie involutive non identité). $\boxed{f(C)=O,\;f(I)=I,\;f\circ f=\text{rotation d'angle }\pi}$

5. Idée : l'écriture d'une rotation de centre $\omega$ et d'angle $\theta$ est $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$ . Dans le repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})$ , l'affixe de $I$ est $\dfrac{1+\i}{2}$ et l'angle est $\dfrac{\pi}{2}$ , d'où $e^{i\pi/2}=\i$ . On obtient $z'-\dfrac{1+\i}{2}=\i\Bigl(z-\dfrac{1+\i}{2}\Bigr)$ , soit $z'=\i z+1$ . $\boxed{z'=\i z+1}$

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill S-A.1 — cas translation : ne pas forcer une rotation

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $ABCD$ un parallélogramme non rectangle de sens direct, de centre $I$ (milieu de $[AC]$ et de $[BD]$ ). On s'intéresse à l'isométrie qui conserve l'orientation : un déplacement est soit une translation, soit une rotation.

Justifier qu'il existe un unique déplacement $f$ tel que $f(A)=B$ et $f(D)=C$ .
Comparer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ . En déduire que $f$ est une translation, et préciser son vecteur.
Pourquoi $f$ n'est-elle pas une rotation ? Que devient le critère d'angle $(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC})$ dans ce cas ?

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1. Idée : existence/unicité. Dans le parallélogramme, $AD=BC$ et $A\neq D$ . Il existe donc un unique déplacement $f$ tel que $f(A)=B$ et $f(D)=C$ (images de deux points distincts à distances égales). $\boxed{f\text{ unique déplacement},\;f(A)=B,\;f(D)=C}$

2. Idée : translation si et seulement si les deux vecteurs images coïncident. Par définition du parallélogramme, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ . Or $\overrightarrow{AB}$ joint $A$ à $f(A)=B$ , et $\overrightarrow{DC}$ joint $D$ à $f(D)=C$ : les deux vecteurs coïncident, ce qui prouve que $f$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ . $\boxed{f=t_{\overrightarrow{AB}}}$

3. Idée : une translation non nulle n'a aucun point fixe, une rotation en a exactement un. Si $f$ était une rotation de centre $\Omega$ , ce point serait fixe ; or $\overrightarrow{AB}\neq\vec 0$ , donc $f$ ne fixe aucun point — en particulier $I$ , milieu de $[AC]$ , vérifie $f(I)\neq I$ . Par suite $f$ n'est pas une rotation. Le critère d'angle le confirme : $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ dans le parallélogramme, donc $(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC})\equiv 0\;[2\pi]$ — un angle nul, qui interdit de conclure à une rotation. $\boxed{f\text{ translation, pas rotation}}$

Entraînement 02 / 02

Drill S-A.2 — rotation d'angle $\pi$ (symétrie centrale)

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $ABCD$ un losange qui n'est pas un carré, de sens direct, de centre $I$ . On considère le déplacement $f$ défini par $f(A)=C$ et $f(B)=D$ . On rappelle qu'un déplacement est une translation ou une rotation ; une rotation d'angle $\pi$ est une isométrie appelée aussi symétrie centrale.

Justifier l'existence et l'unicité du déplacement $f$ tel que $f(A)=C$ et $f(B)=D$ .
Montrer que $f$ n'est pas une translation, puis prouver que $f$ est la rotation d'angle $\pi$ de centre $I$ .
En déduire $f\circ f$ et la nature de l'isométrie $f\circ f$ .

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1. Idée : deux points distincts et deux images à la même distance. Dans le losange, $AB=CD$ (tous les côtés sont égaux) et $A\neq B$ . Or, pour deux points distincts et deux images séparées de la même distance, il existe un unique déplacement réalisant ces images. Par suite il existe un unique déplacement $f$ tel que $f(A)=C$ et $f(B)=D$ . $\boxed{f\text{ unique déplacement},\;f(A)=C,\;f(B)=D}$

2. Idée : angle $\pi$ via les côtés opposés. Dans le losange $ABCD$ , les côtés opposés vérifient $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ , donc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})\equiv\pi\;[2\pi]$ : les deux vecteurs ne sont pas égaux, par suite $f$ n'est pas une translation. Un déplacement qui n'est pas une translation est une rotation, et l'angle de $f$ est $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})\equiv\pi$ . Son centre est équidistant de $A$ et $C$ d'une part, de $B$ et $D$ d'autre part : c'est le point de concours des diagonales, c'est-à-dire $I$ , milieu commun de $[AC]$ et de $[BD]$ . Conclusion : $f$ est la rotation de centre $I$ et d'angle $\pi$ , autrement dit la symétrie centrale de centre $I$ , qui échange les deux sommets de chaque diagonale. $\boxed{f=\text{rotation de point fixe }I\text{ et d'angle }\pi}$

3. Idée : les angles s'ajoutent quand les rotations ont le même point fixe. $f\circ f$ est la rotation de centre $I$ et d'angle $\pi+\pi=2\pi\equiv 0\;[2\pi]$ , c'est-à-dire l'identité. On retrouve qu'une rotation d'angle $\pi$ — une symétrie centrale — est involutive. $\boxed{f\circ f=\mathrm{id}}$

Méthode / Automatismes

Existence/unicité : si $AB=A'B'\neq 0$ , il existe un unique déplacement $f$ avec $f(A)=A'$ et $f(B)=B'$ .
Test translation : $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}$ $\Rightarrow$ translation ; sinon rotation d'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'})$ .
Point fixe d'une rotation : intersection des médiatrices de $[AA']$ et $[BB']$ (ou résolution $f(\Omega)=\Omega$ ).
Ne forcer une rotation que si l'angle n'est pas un multiple de $2\pi$ ; si les vecteurs sont égaux, c'est une translation.

Pièges classiques

Conclure « rotation » sans vérifier que $\overrightarrow{AA'}\neq\overrightarrow{BB'}$ . Oublier l'unicité (il existe aussi un antidéplacement qui réalise les mêmes images). Chercher le point fixe par une formule d'affixes avant d'avoir identifié la nature géométrique du déplacement.

Où ce scénario est tombé

Bac 2020 — session principale· Exercice 1 (géométrie)attestéL'antidéplacement est défini par les images de deux points : le test des médiatrices tranche entre réflexion et symétrie glissante, la rotation apparaît comme composée.

Bac 2023 — session principale (couverture partielle)· Exercice 2 (isométries et similitudes)attestéUnique déplacement par deux images → rotation → losange ; puis similitude directe et homothétie.