S-DIsométries et similitudes

Composer et conjuguer : nature de la composée

Idée directrice

La nature d'une composée d'isométries se lit sur la parité : déplacement $\circ$ déplacement $=$ déplacement, déplacement $\circ$ antidéplacement $=$ antidéplacement. Deux rotations d'angles opposés se composent en une translation ; la conjugaison $\sigma\circ s\circ\sigma$ conserve le type. L'argument d'identification du bac est constant : deux isométries de même nature qui coïncident en deux points distincts sont égales.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« former $f^{-1}\circ g$ » ; « deux isométries qui coïncident en deux points » ; « $f$ et $r$ sont deux rotations d'angles opposés » ; « en déduire que la composée est une translation »

Sujet principal

Exercice — composées, inverse et identification par deux points

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $OABC$ un carré de sens direct. On note $I$ le milieu de $[OB]$ . Soit $f$ la rotation (déplacement) de centre $I$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ telle que $f(O)=A$ et $f(A)=B$ . Soit $s$ la réflexion (antidéplacement) d'axe $(OA)$ . Soit $r$ la rotation (déplacement) de centre $O$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ . On travaille uniquement avec des isométries : déplacements (translations, rotations) et antidéplacements (réflexions, symétries glissantes).

Justifier que $f^{-1}$ est un déplacement. Former la composée $f^{-1}\circ s$ et montrer que c'est un antidéplacement.
Calculer $(f^{-1}\circ s)(O)$ et $(f^{-1}\circ s)(A)$ . Comparer les médiatrices de $[O\,(f^{-1}\circ s)(O)]$ et de $[A\,(f^{-1}\circ s)(A)]$ , puis en déduire la nature de l'antidéplacement $f^{-1}\circ s$ et une construction de son axe.
Montrer que $f$ et $r$ sont deux rotations d'angles opposés, puis en déduire que $f\circ r$ est une translation. Préciser le vecteur de cette translation en évaluant $(f\circ r)(O)$ .
Former la conjuguée $s\circ f\circ s$ . Justifier que c'est un déplacement, puis préciser sa nature (rotation d'angle opposé).
Dans le repère direct $(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})$ , déterminer une expression de la translation $f\circ r$ sous la forme $z\mapsto z+b$ .

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1. Idée : inverse d'un déplacement et parité de la composée. $f$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ de centre $I$ , donc $f^{-1}$ est la rotation de même point fixe $I$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ : c'est un déplacement. La réflexion $s$ est un antidéplacement. La composée d'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement ; ainsi $f^{-1}\circ s$ est un antidéplacement. $\boxed{f^{-1}\circ s\text{ antidéplacement}}$

2. Idée : décider entre réflexion et symétrie glissante par le test des médiatrices. On a $s(O)=O$ et $s(A)=A$ (points de l'axe $(OA)$ ). Comme $f(O)=A$ , on a $f^{-1}(A)=O$ , d'où $(f^{-1}\circ s)(A)=f^{-1}(A)=O$ . De plus $f(C)=O$ (quart de tour autour de $I$ ), donc $f^{-1}(O)=C$ et $(f^{-1}\circ s)(O)=C$ . L'antidéplacement $g=f^{-1}\circ s$ envoie donc $O$ sur $C$ et $A$ sur $O$ . Or la médiatrice de $[OC]$ et celle de $[AO]$ sont deux droites distinctes (l'une est parallèle à $(OA)$ , l'autre lui est perpendiculaire), par suite $g$ n'est pas une réflexion : c'est une symétrie glissante. Son axe passe par le milieu de $[OC]$ et le milieu de $[AO]$ . $\boxed{f^{-1}\circ s=\text{symétrie glissante}}$

3. Idée : deux rotations d'angles opposés se composent en une translation. $f$ a pour angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $r$ a pour angle $-\dfrac{\pi}{2}$ : angles opposés. La composée de deux rotations d'angles opposés est une translation. On calcule $(f\circ r)(O)=f(r(O))=f(O)=A$ car $r$ fixe $O$ . Donc $f\circ r$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{OA}$ . $\boxed{f\circ r=t_{\overrightarrow{OA}}}$

4. Idée : conjugaison par une réflexion. $s$ est un antidéplacement et $f$ un déplacement, donc $s\circ f\circ s$ est un déplacement (deux changements d'orientation se compensent). Il fixe $s(I)$ , puisque $f$ fixe $I$ et que $s\circ s=\mathrm{id}$ , ce qui prouve que $s\circ f\circ s$ est la rotation de centre $s(I)$ ; la réflexion inversant les angles orientés, son angle est $-\dfrac{\pi}{2}$ . $\boxed{s\circ f\circ s=\text{rotation de centre }s(I)\text{ et d'angle }-\pi/2}$

5. Idée : expression d'une translation. Dans le repère direct $(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})$ , le vecteur $\overrightarrow{OA}$ a pour affixe $1$ , d'où $z\mapsto z+1$ pour $t_{\overrightarrow{OA}}$ . $\boxed{z\mapsto z+1}$

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill S-D.1 — parité : déplacement ∘ antidéplacement

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $ABC$ un triangle équilatéral de sens direct. Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ (déplacement). Soit $\sigma$ la réflexion d'axe $(AB)$ (antidéplacement). On étudie la composée $r\circ\sigma$ en tant qu'isométrie du plan.

Justifier que $r\circ\sigma$ est un antidéplacement.
Calculer $(r\circ\sigma)(A)$ et $(r\circ\sigma)(B)$ . En déduire une information sur les points fixes éventuels de cet antidéplacement.
Soit $g=r\circ\sigma$ . Montrer que si un antidéplacement $h$ vérifie $h(A)=g(A)$ et $h(B)=g(B)$ , alors $h=g$ .

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1. Idée : parité des isométries. $r$ est un déplacement (rotation) et $\sigma$ un antidéplacement (réflexion). La composée d'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement. Donc $r\circ\sigma$ est un antidéplacement. $\boxed{r\circ\sigma\text{ antidéplacement}}$

2. Idée : images de deux points de l'axe. $\sigma(A)=A$ et $\sigma(B)=B$ car $A$ et $B$ sont sur l'axe $(AB)$ , d'où $g(A)=r(A)=A$ et $g(B)=r(B)$ . La rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ envoie $B$ sur le point $B'$ tel que $AB=AB'$ et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB'})\equiv\dfrac{\pi}{3}$ . Ainsi $g$ fixe $A$ ; or un antidéplacement qui fixe un point est une réflexion, ce qui prouve que $g$ est la réflexion d'axe la droite passant par $A$ et par le milieu de $[B\,g(B)]$ . $\boxed{g(A)=A,\;g=\text{réflexion}}$

3. Idée : unicité par coïncidence en deux points. $g$ et $h$ sont deux antidéplacements tels que $h(A)=g(A)$ et $h(B)=g(B)$ avec $A\neq B$ . Deux antidéplacements qui coïncident en deux points distincts sont égaux, d'où $h=g$ . $\boxed{h=g}$

Entraînement 02 / 02

Drill S-D.2 — deux rotations d'angles opposés → translation

3 questionsCorrigé masqué

Soit $O$ un point du plan et $\vec u$ un vecteur non nul. Soit $r_1$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ (déplacement). Soit $r_2$ la rotation de centre $O$ et d'angle $-\dfrac{2\pi}{3}$ (déplacement). Soit $t$ la translation de vecteur $\vec u$ .

Justifier que $r_1\circ r_2$ est une translation, et préciser laquelle.
Former $r_1\circ t\circ r_1^{-1}$ . Montrer que c'est une translation, et déterminer son vecteur (image de $\vec u$ par la rotation $r_1$ ).
Pourquoi $r_1\circ r_1$ n'est-elle pas une translation (non triviale) ? Préciser la nature de cette isométrie.

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1. Idée : angles opposés, même centre. $r_1$ et $r_2$ sont deux rotations de centre $O$ et d'angles opposés $\dfrac{2\pi}{3}$ et $-\dfrac{2\pi}{3}$ . Les angles s'ajoutent : $r_1\circ r_2$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $0$ . Conclusion : la composée est l'identité, c'est-à-dire la translation de vecteur nul. (Si les deux centres différaient, la composée serait une translation non nulle.) $\boxed{r_1\circ r_2=\mathrm{id}=t_{\vec 0}}$

2. Idée : conjugaison d'une translation par une rotation. $r_1$ est un déplacement et $t$ un déplacement, donc $r_1\circ t\circ r_1^{-1}$ est un déplacement. La conjuguée d'une translation par une isométrie $u$ est la translation de vecteur $u(\vec u)$ (image du vecteur). Ici $u=r_1$ , d'où le vecteur $r_1(\vec u)$ (le vecteur tourné de $2\pi/3$ autour de $O$ ). $\boxed{r_1\circ t\circ r_1^{-1}=t_{r_1(\vec u)}}$

3. Idée : somme des angles. $r_1\circ r_1$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{4\pi}{3}\neq 0\;[2\pi]$ , donc ce n'est pas une translation : c'est encore une rotation (déplacement non trivial avec un point fixe). $\boxed{r_1\circ r_1=\text{rotation d'angle }4\pi/3}$

Méthode / Automatismes

Parité : déplacement $\circ$ déplacement $=$ déplacement ; déplacement $\circ$ antidéplacement $=$ antidéplacement ; antidéplacement $\circ$ antidéplacement $=$ déplacement.
Deux rotations d'angles opposés $\Rightarrow$ translation (évaluer sur un point pour trouver le vecteur).
Identification : deux isométries de même type (deux déplacements, ou deux antidéplacements) qui coïncident en deux points distincts sont égales.
Conjuguée $\sigma\circ u\circ\sigma$ : même « type » que $u$ ; l'angle d'une rotation change de signe si $\sigma$ est une réflexion.

Pièges classiques

Se tromper de parité (oublier qu'un antidéplacement « compte pour un »). Identifier deux isométries qui coïncident en un seul point. Composer $f\circ r$ en oubliant l'ordre (l'ordre compte pour le vecteur de la translation, pas pour le type « translation »).

Où ce scénario est tombé

Bac 2024 — session principale (partiel)· Exercice 2 (isométries et similitudes)attestéCommutation h∘R = R∘h, similitude directe puis indirecte définies par images de points, et la configuration (triangle équilatéral, perpendicularité) déduite des composées.