S-GIsométries et similitudes

Antidéplacement défini géométriquement : réflexion ou symétrie glissante

Idée directrice

Même entrée que pour un déplacement, mais en antidéplacement : « $g$ est l'antidéplacement tel que $g(A)=A'$ et $g(B)=B'$ ». On décide entre réflexion et symétrie glissante par le test des médiatrices : $\mathrm{med}([AA'])=\mathrm{med}([BB'])$ $\Rightarrow$ réflexion (cet axe commun), sinon symétrie glissante. L'axe d'une symétrie glissante est globalement invariant. **Ce n'est pas le scénario $S$ - $C$ ** : $S$ - $C$ part d'une écriture $z'=a\bar z+b$ et cherche les points fixes algébriquement ; ici la configuration est géométrique et le raisonnement reste en isométries du plan.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $g$ est l'antidéplacement tel que $g(A)=A'$ et $g(B)=B'$ » ; « réflexion ou symétrie glissante » ; « l'axe est globalement invariant »

Sujet principal

Exercice — antidéplacement défini par deux images

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $OABC$ un carré de sens direct. On note $I$ le milieu de $[OB]$ . Une isométrie qui inverse l'orientation est un antidéplacement ; un antidéplacement est soit une réflexion, soit une symétrie glissante. Un déplacement (translation ou rotation) conserve l'orientation, alors qu'un antidéplacement l'inverse. On étudie l'antidéplacement défini par les images de deux points — même entrée que pour un déplacement, mais en type indirect — afin de décider géométriquement entre réflexion et symétrie glissante (test des médiatrices), sans partir d'une formule déjà donnée en nombres complexes.

Justifier qu'il existe un unique antidéplacement $g$ tel que $g(O)=A$ et $g(A)=B$ .
Comparer les médiatrices de $[OA]$ et de $[AB]$ . En déduire que $g$ est une symétrie glissante (et non une réflexion).
Déterminer l'axe $\Delta$ de la symétrie glissante $g$ comme l'axe passant par les milieux de $[OA]$ et de $[AB]$ . Justifier que $\Delta$ est globalement invariant par l'isométrie $g$ .
Soit $M$ le milieu de $[OA]$ et $N$ le milieu de $[AB]$ (donc $M,N\in\Delta$ ). En utilisant l'invariance globale de $\Delta$ et le fait que $g$ envoie $O$ sur $A$ et $A$ sur $B$ , déterminer le vecteur de glissement $\overrightarrow{MN}$ et en déduire $g\circ g$ .
Dans le repère direct $(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})$ , déterminer une expression de l'antidéplacement $g$ sous la forme $z\mapsto a\overline{z}+b$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : existence et unicité d'un antidéplacement par deux images. Dans le carré, $OA=AB\neq 0$ et $O\neq A$ . Pour tout couple de points distincts à distances égales, il existe un unique antidéplacement réalisant les images imposées. D'où l'existence et l'unicité de l'antidéplacement $g$ tel que $g(O)=A$ et $g(A)=B$ . (Le déplacement qui réalise les mêmes images est la rotation d'angle $\pi/2$ de centre $I$ ; $g$ est l'autre isométrie, l'antidéplacement.) $\boxed{g\text{ unique antidéplacement},\;g(O)=A,\;g(A)=B}$

2. Idée : test des médiatrices. Un antidéplacement est une réflexion si et seulement si $\mathrm{med}([OA])=\mathrm{med}([AB])$ (cet axe commun est alors l'axe de la réflexion). Or, dans le carré de sens direct, $[OA]$ et $[AB]$ sont des côtés consécutifs perpendiculaires : la médiatrice de $[OA]$ est perpendiculaire à $(OA)$ en son milieu, celle de $[AB]$ est perpendiculaire à $(AB)$ en son milieu. Ces deux médiatrices sont distinctes (elles se coupent en $I$ mais ne coïncident pas). Donc $\mathrm{med}([OA])\neq\mathrm{med}([AB])$ , ce qui prouve que $g$ n'est pas une réflexion : c'est une symétrie glissante. $\boxed{g=\text{symétrie glissante}}$

3. Idée : axe = axe des milieux ; invariance globale. Le milieu de $[M'\,g(M')]$ appartient à l'axe pour tout point $M'$ ; appliqué à $O$ et à $A$ , cela donne que $\Delta$ passe par le milieu $M$ de $[OA]$ et par le milieu $N$ de $[AB]$ . On sait que l'axe d'une symétrie glissante est globalement invariant, c'est-à-dire $g(\Delta)=\Delta$ . $\boxed{\Delta=(MN)\text{ globalement invariant}}$

4. Idée : le carré d'une glissante est une translation. Sur l'axe $\Delta$ , la symétrie glissante agit comme une translation de vecteur $\vec u=\overrightarrow{MN}$ (des milieux). Plus précisément $g=t_{\vec u}\circ s_{\Delta}=s_{\Delta}\circ t_{\vec u}$ avec $\vec u$ parallèle à $\Delta$ . On a alors $g\circ g=t_{2\vec u}$ . Comme $M\neq N$ dans le carré, $\vec u\neq\vec 0$ , donc $g\circ g$ est une translation non nulle, ce qui confirme l'absence de point fixe pour $g$ . $\boxed{g\circ g=t_{2\overrightarrow{MN}}}$

5. Idée : forme $z\mapsto a\overline{z}+b$ avec $|a|=1$ . Dans le repère direct $(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})$ , les affixes sont $z_O=0$ , $z_A=1$ , $z_B=1+\i$ , $z_C=\i$ . L'antidéplacement $g$ vérifie $g(0)=1$ et $g(1)=1+\i$ . En posant $g(z)=a\overline{z}+b$ avec $|a|=1$ , on obtient $b=1$ et $a\cdot 1+1=1+\i$ , d'où $a=\i$ . On vérifie $|\i|=1$ . $\boxed{g(z)=\i\,\overline{z}+1}$

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill S-G.1 — cas réflexion : médiatrices confondues

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ avec $AB=AC$ , rectangle en $A$ . Soit $I$ le milieu de $[BC]$ . On considère l'antidéplacement $g$ tel que $g(B)=C$ et $g(C)=B$ . On rappelle qu'un antidéplacement est une réflexion ou une symétrie glissante.

Justifier l'existence et l'unicité de l'antidéplacement $g$ tel que $g(B)=C$ et $g(C)=B$ .
Comparer la médiatrice de $[B\,g(B)]$ et celle de $[C\,g(C)]$ . En déduire que $g$ est la réflexion d'axe $(AI)$ .
Déterminer $g(A)$ et $g(I)$ . Quelle est l'isométrie $g\circ g$ ?

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1. Idée : distances. On a $BC=CB\neq 0$ (même longueur). Il existe un unique antidéplacement $g$ tel que $g(B)=C$ et $g(C)=B$ . $\boxed{g\text{ unique antidéplacement}}$

2. Idée : médiatrices confondues $\Rightarrow$ réflexion. On a $g(B)=C$ et $g(C)=B$ , donc $[B\,g(B)]=[BC]$ et $[C\,g(C)]=[CB]$ : c'est le même segment, d'où $\mathrm{med}([B\,g(B)])=\mathrm{med}([C\,g(C)])$ . Or un antidéplacement dont les deux médiatrices coïncident est la réflexion d'axe cette médiatrice — une similitude indirecte de rapport $1$ . Conclusion : $g$ est la réflexion d'axe la médiatrice commune, c'est-à-dire la droite $(AI)$ . Dans le triangle isocèle rectangle en $A$ , la médiatrice de $[BC]$ est la droite $(AI)$ (elle est à la fois hauteur, médiane et bissectrice issues de $A$ ). $\boxed{g=\text{réflexion d'axe }(AI)}$

3. Idée : points de l'axe et involution. $A$ et $I$ appartiennent à l'axe $(AI)$ , donc $g(A)=A$ et $g(I)=I$ ; $I$ est d'ailleurs le milieu de $[BC]$ , segment que $g$ retourne sur lui-même. Toute réflexion est une isométrie involutive : $g\circ g=\mathrm{id}$ . $\boxed{g(A)=A,\;g(I)=I,\;g\circ g=\mathrm{id}}$

Entraînement 02 / 02

Drill S-G.2 — axe globalement invariant d'une glissante

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $ABCD$ un parallélogramme de sens direct qui n'est pas un rectangle. On note $I$ le milieu de $[AC]$ . Soit $g$ l'antidéplacement tel que $g(A)=B$ et $g(D)=C$ . On admet que $g$ est une symétrie glissante : les médiatrices de $[AB]$ et de $[DC]$ sont parallèles et distinctes, car $ABCD$ n'est pas un rectangle. On rappelle qu'une symétrie glissante est la composée d'une réflexion d'axe $\Delta$ et d'une translation de vecteur non nul parallèle à $\Delta$ .

Déterminer l'axe $\Delta$ de la symétrie glissante $g$ comme droite des milieux de $[AB]$ et de $[DC]$ .
Justifier que $\Delta$ est globalement invariant par $g$ . En déduire que si $M\in\Delta$ , alors $g(M)\in\Delta$ .
Montrer que $g\circ g$ est une translation non nulle. Que peut-on en conclure sur les points fixes de $g$ ?

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1. Idée : le milieu d'un point et de son image est sur l'axe. Pour une symétrie glissante, le milieu de $[M\,g(M)]$ appartient à l'axe pour tout point $M$ . Ici $g(A)=B$ et $g(D)=C$ , donc l'axe $\Delta$ passe par le milieu de $[AB]$ et par le milieu de $[DC]$ . Or dans le parallélogramme $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ , et le vecteur joignant ces deux milieux vaut $\overrightarrow{AD}$ , par suite $\Delta$ est la droite des milieux de $[AB]$ et de $[DC]$ , de direction $\overrightarrow{AD}$ . $\boxed{\Delta=\text{droite des milieux de }[AB]\text{ et }[DC]}$

2. Idée : invariance globale de l'axe. On sait que l'axe d'une symétrie glissante est globalement invariant : $g(\Delta)=\Delta$ . Par suite, pour tout point $M$ de $\Delta$ , $g(M)\in\Delta$ . Ce n'est pas un point fixe en général : $g$ glisse le long de $\Delta$ . $\boxed{g(\Delta)=\Delta}$

3. Idée : carré d'une glissante. Par définition, si $g=t_{\vec u}\circ s_{\Delta}$ avec $\vec u$ parallèle à $\Delta$ et non nul, alors $g\circ g=t_{2\vec u}$ , translation non nulle. Une isométrie dont le carré est une translation non nulle n'a aucun point fixe (un point fixe de $g$ serait fixe pour $g\circ g$ , or $t_{2\vec u}$ n'a pas de point fixe). Donc $g$ n'a aucun point fixe, ce qui confirme qu'il ne s'agit pas d'une réflexion. $\boxed{g\circ g=t_{2\vec u}\neq\mathrm{id}\text{ ; aucun point fixe}}$

Méthode / Automatismes

Antidéplacement par deux images : si $AB=A'B'\neq 0$ , il existe un unique antidéplacement $g$ avec $g(A)=A'$ , $g(B)=B'$ .
Test réflexion / glissante : $\mathrm{med}([AA'])=\mathrm{med}([BB'])$ $\Rightarrow$ réflexion d'axe cette médiatrice ; sinon symétrie glissante.
Axe d'une symétrie glissante : droite des milieux des segments $[AA']$ et $[BB']$ ; elle est globalement invariante.
Ne pas commencer par $z'=a\bar z+b$ : ce mode d'entrée est celui de $S$ - $C$ , rare au bac.

Pièges classiques

Conclure « réflexion » sans comparer les médiatrices. Oublier qu'une symétrie glissante n'a aucun point fixe (son carré est une translation non nulle). Confondre l'axe globalement invariant avec un ensemble de points fixes.

Où ce scénario est tombé

Bac 2020 — session principale· Exercice 1 (géométrie)attestéL'antidéplacement est défini par les images de deux points : le test des médiatrices tranche entre réflexion et symétrie glissante, la rotation apparaît comme composée.