S-BIsométries et similitudes

Similitude directe définie par les images de deux points

Idée directrice

La similitude directe est presque toujours définie par des images de points ( $S(B)=M$ , $S(C)=N$ ), jamais par une écriture $z'=az+b$ en entrée. On lit le rapport $k=\dfrac{MN}{BC}$ et l'angle $\theta=(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{MN})$ sur deux couples, on prouve qu'un point nommé de la figure est fixe (le centre), puis on reconnaît la composée homothétie $\circ$ déplacement (rotation ou translation).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Soit $S$ la similitude directe telle que $S(B)=M$ et $S(C)=N$ » ; « déterminer le rapport et l'angle de $S$ » ; « montrer que $S(\Omega)=\Omega$ » ; « $f$ est la composée d'une homothétie et d'un déplacement ».

Sujet principal

Exercice — similitude directe par deux images

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $ABCD$ est un carré direct de centre $O$ et de côté $2$ . Soit $M$ le milieu de $[CD]$ et $N$ le milieu de $[DA]$ . On cherche la similitude directe $S$ qui envoie $B$ sur $M$ et $C$ sur $N$ . On rappelle qu'un déplacement est une translation ou une rotation, et qu'une similitude directe de rapport $1$ est un déplacement.

Montrer qu'il existe une unique similitude directe $S$ vérifiant $S(B)=M$ et $S(C)=N$ .
Déterminer le rapport $k$ de la similitude directe $S$ et une mesure de son angle $\theta$ .
Calculer $S(O)$ . En déduire le centre de la similitude directe $S$ .
Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$ — c'est un déplacement, donc une isométrie — et soit $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Montrer que $S=h\circ R$ .
On munit le plan du repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$ dans lequel le point $B$ a pour affixe $1-\i$ . Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $S$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : existence et unicité d'une similitude directe par deux couples de points distincts. On sait que $B\neq C$ et $M\neq N$ . Or il existe une unique similitude directe envoyant un point $P$ sur un point $P'$ et un point $Q\neq P$ sur un point $Q'$ , définie par le rapport $k=\dfrac{P'Q'}{PQ}$ et l'angle $\theta=(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{P'Q'})$ . Par suite il existe une unique similitude directe $S$ telle que $S(B)=M$ et $S(C)=N$ .

2. *Idée : lire $k$ et $\theta$ sur les vecteurs $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{MN})$ .* On a $k=\dfrac{MN}{BC}$ . Dans le carré de côté $2$ , $BC=2$ . Les points $M$ et $N$ sont deux milieux de côtés consécutifs issus de $D$ , d'où $MN=\sqrt{2}$ (triangle $DMN$ rectangle isocèle de côtés $1$ ). Ainsi $k=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . L'angle de $S$ vérifie $\theta\equiv(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{MN})\pmod{2\pi}$ . En plaçant $O$ à l'origine, $B$ d'affixe $1-\i$ , $C$ d'affixe $1+\i$ , $M$ d'affixe $\i$ et $N$ d'affixe $-1$ , on obtient $\overrightarrow{BC}$ d'affixe $2\i$ et $\overrightarrow{MN}$ d'affixe $-1-\i$ , d'où $\arg\!\left(\dfrac{-1-\i}{2\i}\right)=\dfrac{3\pi}{4}$ . Donc $\boxed{k=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$ et $\boxed{\theta=\dfrac{3\pi}{4}}$ .

3. *Idée : un point $\Omega$ est centre dès que $\dfrac{\Omega M}{\Omega B}=k$ et $(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega M})\equiv\theta\pmod{2\pi}$ (et de même pour le couple $(C,N)$ ).* Avec $O$ centre du carré de côté $2$ , on a $OB=OC=\sqrt{2}$ et $OM=ON=1$ , d'où $\dfrac{OM}{OB}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=k$ . De plus $(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OM})\equiv\dfrac{3\pi}{4}\pmod{2\pi}$ (vecteurs d'affixes $1-\i$ et $\i$ dans le repère d'origine $O$ ), et de même pour $(C,N)$ . Ainsi $O$ est le centre de la similitude directe $S$ , ce qui prouve aussi $S(O)=O$ . $\boxed{\text{centre }=O}$ .

4. *Idée : homothétie $\circ$ déplacement $=$ similitude directe.* La rotation $R$ est un déplacement (isométrie directe) de centre $O$ et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$ . L'homothétie $h$ a le même centre $O$ et un rapport positif $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . La composée $h\circ R$ est donc une similitude directe de centre $O$ , de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$ . Or $S$ a les mêmes éléments caractéristiques. Deux similitudes directes qui coïncident en centre, rapport et angle sont égales, ce qui prouve que $\boxed{S=h\circ R}$ .

5. Idée : l'écriture complexe clôt le raisonnement, elle ne le commence pas. Dans le repère choisi, $S$ de centre $O$ (affixe $0$ ), de rapport $k$ et d'angle $\theta$ s'écrit $z'=k e^{\i\theta}z$ . Or $k e^{\i\theta}=\dfrac{-1+\i}{2}$ . Ainsi $\boxed{z'=\dfrac{-1+\i}{2}\,z}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 03

Drill S-B.1 — rapport et angle lus sur deux couples

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$ avec $AB=AC=2$ . Soit $I$ le milieu de $[BC]$ . Soit $f$ la similitude directe telle que $f(B)=A$ et $f(I)=C$ .

Déterminer le rapport de la similitude directe $f$ .
Déterminer une mesure de l'angle de la similitude directe $f$ , c'est-à-dire $(\overrightarrow{BI},\overrightarrow{AC})$ .
On rappelle qu'une similitude directe de rapport $1$ est une isométrie, plus précisément une rotation ou une translation. Le rapport trouvé est-il égal à $1$ ?

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1. *Idée : $k=\dfrac{f(B)f(I)}{BI}=\dfrac{AC}{BI}$ .* Comme $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ avec $AB=AC=2$ , on a $BC=2\sqrt{2}$ et $BI=\sqrt{2}$ . Or $AC=2$ , d'où $k=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ . $\boxed{k=\sqrt{2}}$ .

2. Idée : l'angle est celui des vecteurs images. En plaçant $A$ en $0$ , $B$ en $2$ et $C$ en $2\i$ , on a $I=1+\i$ et $\overrightarrow{BI}$ d'affixe $-1+\i$ , $\overrightarrow{AC}$ d'affixe $2\i$ . Alors $\arg\!\left(\dfrac{2\i}{-1+\i}\right)=-\dfrac{\pi}{4}$ . Donc $\boxed{\theta=-\dfrac{\pi}{4}}$ .

3. Le rapport $k=\sqrt{2}$ est différent de $1$ . Conclusion : $f$ n'est pas une isométrie, donc ni une rotation, ni une translation. Le contrôle est immédiat sur la figure : $I$ est le milieu de $[BC]$ , donc $BI=\sqrt 2$ tandis que son image $AC$ mesure $2$ — les longueurs ne sont pas conservées. $\boxed{k=\sqrt2\neq1}$

Entraînement 02 / 03

Drill S-B.2 — le centre est un point nommé de la figure

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $ABC$ est un triangle équilatéral direct. Soit $G$ le centre de ce triangle (point de concours des médianes). Soit $S$ la similitude directe telle que $S(A)=B$ et $S(B)=C$ .

Déterminer le rapport et une mesure de l'angle de la similitude directe $S$ .
Montrer que la rotation de centre $G$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ envoie $A$ sur $B$ et $B$ sur $C$ .
En déduire que $G$ est le centre de la similitude directe $S$ . On rappelle que cette rotation est une isométrie et un déplacement.

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1. Idée : dans un équilatéral, les côtés sont égaux. On a $k=\dfrac{BC}{AB}=1$ et $\theta\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})\equiv\dfrac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}$ car $ABC$ est équilatéral direct. $\boxed{k=1}$ , $\boxed{\theta=\dfrac{2\pi}{3}}$ .

2. *Idée : le centre du triangle équilatéral est le centre de la rotation d'ordre $3$ .* Par définition de $G$ , on a $GA=GB=GC$ et $(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB})\equiv(\overrightarrow{GB},\overrightarrow{GC})\equiv\dfrac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}$ . La rotation $R$ de centre $G$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ vérifie donc $R(A)=B$ et $R(B)=C$ .

3. $R$ est une similitude directe de rapport $1$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ qui envoie $A$ sur $B$ et $B$ sur $C$ ; par unicité de la similitude directe définie par deux couples de points, $S=R$ . Or le centre de $R$ est $G$ , ce qui prouve que le centre de $S$ est $G$ . $\boxed{\text{centre}=G}$

Entraînement 03 / 03

Drill S-B.3 — cas d'homothétie : angle $0$

3 questionsCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $A$ , $B$ et $C$ sont trois points alignés dans cet ordre tels que $AB=2$ et $BC=4$ . Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$ , c'est-à-dire l'application qui à tout point $M$ associe le point $M'$ défini par $\overrightarrow{AM'}=3\overrightarrow{AM}$ . On rappelle qu'une similitude directe de rapport $1$ est une isométrie — une rotation ou une translation — et que $h$ , de rapport $3$ , n'en est pas une.

Vérifier que $h(B)=C$ . En déduire le rapport de l'homothétie $h$ .
Montrer que $h$ est une similitude directe, et déterminer son angle.
Un élève écrit que l'angle de $h$ vaut $\dfrac{\pi}{2}$ . Réfuter cette réponse en utilisant l'alignement de $A$ , $B$ et $C$ .

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1. Idée : lire le rapport sur un couple aligné. Par définition, $\overrightarrow{Ah(B)}=3\overrightarrow{AB}$ . Comme $B$ , $C$ sont sur la demi-droite $[AB)$ et $AC=AB+BC=6=3\cdot AB$ , on a $h(B)=C$ . Le rapport de l'homothétie est $k=3$ . $\boxed{k=3}$ .

2. *Idée : homothétie de rapport positif $=$ similitude directe d'angle $0$ .* Une homothétie de rapport $k>0$ multiplie les distances par $k$ et conserve l'orientation des angles : c'est une similitude directe de rapport $k$ et d'angle $\theta=0$ . $\boxed{\theta=0}$ .

3. Idée : un angle non nul ferait sortir $C$ de la droite. Si l'angle de $h$ valait $\dfrac{\pi}{2}$ , le vecteur $\overrightarrow{AC}$ s'obtiendrait en tournant $\overrightarrow{AB}$ d'un quart de tour et $C$ ne serait pas sur la droite $(AB)$ . Or $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ et de même sens ce qui prouve que l'angle est nul et que la réponse de l'élève est fausse. $\boxed{\theta=0\text{, et non }\pi/2}$

Méthode / Automatismes

Similitude directe définie par $S(P)=P'$ et $S(Q)=Q'$ : $k=\dfrac{P'Q'}{PQ}$ , $\theta=(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{P'Q'})$ .
Existence-unicité : un unique couple $(k,\theta)$ (avec $P\neq Q$ ) fixe la similitude directe du plan.
Centre : point fixe $\Omega$ ; souvent un point déjà nommé (centre d'un carré, d'un triangle équilatéral).
Reconnaître $h\circ R$ : même centre, rapport de $h$ , angle de la rotation $R$ (déplacement).
Complexe en dernier : $z'-\omega=k e^{\i\theta}(z-\omega)$ seulement pour clore.

Pièges classiques

Partir d'une écriture $z'=az+b$ alors que l'énoncé donne des images de points. Inventer un angle non nul pour une homothétie (angle $0$ ou $\pi$ ). Confondre le rapport $\dfrac{S(P)S(Q)}{PQ}$ avec un rapport de longueurs pris dans le mauvais ordre. Oublier que la rotation est un déplacement, donc que $h\circ R$ est bien une similitude directe.

Où ce scénario est tombé

Bac 2023 — session principale (couverture partielle)· Exercice 2 (isométries et similitudes)attestéUnique déplacement par deux images → rotation → losange ; puis similitude directe et homothétie.

Bac 2024 — session principale (partiel)· Exercice 2 (isométries et similitudes)attestéCommutation h∘R = R∘h, similitude directe puis indirecte définies par images de points, et la configuration (triangle équilatéral, perpendicularité) déduite des composées.