S-FIsométries et similitudes

Images de droites et de cercles ; propriétés de la figure

Idée directrice

Une fois la similitude (ou l'isométrie) identifiée, le bac demande l'image d'une droite, d'un cercle (centre $\mapsto$ centre, rayon $\times k$ ), d'un milieu (« une similitude conserve les milieux »), puis une propriété de la figure (tangence, alignement, triangle remarquable) et parfois une construction. Tout se lit sur la figure : l'axe d'une similitude indirecte est la droite des points fixes, pas le résultat d'un système d'affixes.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Déterminer l'image par $S$ de la droite $(AI)$ » ; « une similitude conserve les milieux » ; « montrer que $(HI)$ est tangente au cercle » ; « construire le point $S(I)$ ».

Sujet principal

Exercice — de la similitude à la configuration

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $ABCD$ est un carré direct de côté $2$ . Soit $H$ le milieu de $[AB]$ . Soit $S$ la similitude directe de centre $H$ , de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ . On note $M=S(A)$ . Soit $I$ le milieu de $[AD]$ , et soit $\Gamma$ le cercle de diamètre $[AH]$ . On rappelle qu'une similitude directe se décompose en une homothétie et un déplacement de même centre — ici une rotation, une translation si l'angle est nul — et qu'un déplacement est une isométrie.

Déterminer l'image $M=S(A)$ dans le carré, puis vérifier le rapport et l'angle de la similitude directe $S$ à l'aide des vecteurs $\overrightarrow{HA}$ et $\overrightarrow{HM}$ .
Déterminer l'image par la similitude directe $S$ de la droite $(AD)$ . On justifiera en nommant la rotation et l'homothétie de centre $H$ qui composent $S$ (la rotation est un déplacement et une isométrie).
Déterminer le cercle $S(\Gamma)$ (image du centre, rayon multiplié par le rapport de $S$ ). Montrer que la droite $(AB)$ est tangente au cercle $S(\Gamma)$ en $H$ .
En utilisant qu'une similitude conserve les milieux, déterminer $S(I)$ . Construire ensuite $S(I)$ à la règle et au compas en composant la rotation de centre $H$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ — un déplacement — puis l'homothétie de centre $H$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$ .

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1. *Idée : lire l'image du centre vers $A$ .* Plaçons $A$ en $0$ , $B$ en $2$ , $C$ en $2+2\i$ , $D$ en $2\i$ , d'où $H=1$ . La similitude directe $S$ vérifie $S(z)=1+\dfrac{1}{2}e^{-\i\pi/2}(z-1)=1-\dfrac{\i}{2}(z-1)$ . Ainsi $M=S(A)=1-\dfrac{\i}{2}(0-1)=1+\dfrac{\i}{2}$ . On a $\overrightarrow{HA}$ d'affixe $-1$ et $\overrightarrow{HM}$ d'affixe $\dfrac{\i}{2}$ , d'où $\dfrac{HM}{HA}=\dfrac{1}{2}$ et $(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{HM})\equiv-\dfrac{\pi}{2}\pmod{2\pi}$ . Ce qui prouve les éléments de $S$ . $\boxed{M=1+\frac{\i}{2}}$ (dans ce repère).

2. Idée : image d'une droite par une similitude directe. On décompose $S=h\circ R$ où $R$ est la rotation de centre $H$ d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ (déplacement, isométrie) et $h$ l'homothétie de centre $H$ de rapport $\dfrac{1}{2}$ . La droite $(AD)$ passe par $A$ et $D$ ; $S(A)=M$ et $S(D)=1-\dfrac{\i}{2}(2\i-1)=1-\dfrac{\i}{2}\cdot 2\i+\dfrac{\i}{2}=1+1+\dfrac{\i}{2}=2+\dfrac{\i}{2}$ . Par suite $S((AD))$ est la droite $(MS(D))$ , c'est-à-dire la droite passant par $1+\dfrac{\i}{2}$ et $2+\dfrac{\i}{2}$ . Ces deux points ont la même partie imaginaire $\dfrac{1}{2}$ , donc la droite image est parallèle à $(AB)$ — ce qui était prévisible : l'angle de $S$ vaut $-\dfrac{\pi}{2}$ et $(AD)$ est perpendiculaire à $(AB)$ . $\boxed{S((AD))=(M\,S(D))}$ (horizontale dans le repère choisi).

3. Idée : une similitude envoie un cercle sur un cercle ; tangence au point fixe. Le cercle $\Gamma$ de diamètre $[AH]$ a pour centre $\Omega$ le milieu de $[AH]$ (affixe $\dfrac{1}{2}$ ) et pour rayon $\dfrac{1}{2}$ . Son image $S(\Gamma)$ est le cercle de centre $S(\Omega)$ et de rayon $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$ . On calcule $S(\Omega)=1-\dfrac{\i}{2}\left(\dfrac{1}{2}-1\right)=1+\dfrac{\i}{4}$ . Comme $S(H)=H$ (centre de la similitude directe), $H\in S(\Gamma)$ . Le rayon $[S(\Omega)H]$ est vertical ; or $(AB)$ est horizontale et passe par $H$ , donc $(AB)$ est perpendiculaire au rayon en $H$ . Or une droite perpendiculaire à un rayon en son extrémité sur le cercle est tangente à ce cercle, ce qui prouve que $\boxed{(AB)\text{ est tangente à }S(\Gamma)\text{ en }H}$ .

4. Idée : « une similitude conserve les milieux ». I est le milieu de $[AD]$ , donc $S(I)$ est le milieu de $[S(A)S(D)]=[MS(D)]$ . Avec les affixes déjà obtenues, $S(I)$ a pour affixe $\dfrac{3}{2}+\dfrac{\i}{2}$ . Construction : tracer la rotation $R$ de centre $H$ d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ (isométrie, déplacement) envoyant $I$ sur $R(I)$ , puis l'homothétie $h$ de centre $H$ de rapport $\dfrac{1}{2}$ envoyant $R(I)$ sur $S(I)=h(R(I))$ . On n'utilise pas de réflexion ici : $S$ est directe. $\boxed{S(I)=\text{milieu de }[MS(D)]}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 03

Drill S-F.1 — image d'une droite par une rotation

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$ avec $AB=AC$ . Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ qui envoie le point $B$ sur le point $C$ .

Justifier que $r$ est une isométrie et un déplacement, et que $r$ est une similitude directe de rapport $1$ .
Déterminer l'image par la rotation $r$ de la droite $(BC)$ .
Soit $C'=r(C)$ . En déduire la nature du triangle $BCC'$ .

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1. Idée : toute rotation est un déplacement. Une rotation est une isométrie directe, donc un déplacement ; c'est une similitude directe de rapport $1$ . Comme $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ et orienté de sorte que $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv\dfrac{\pi}{2}\pmod{2\pi}$ , on a bien $r(B)=C$ .

2. Idée : image d'une droite par une rotation. La rotation $r$ envoie $B$ sur $C$ et $C$ sur un point $C'=r(C)$ . Par suite $r((BC))$ est la droite $(CC')$ . Comme l'angle de $r$ vaut $\dfrac{\pi}{2}$ , les droites $(BC)$ et $(CC')$ sont perpendiculaires. $\boxed{r((BC))=(CC')}$ .

3. Idée : une rotation conserve les longueurs et tourne les droites de son angle. $r$ est une isométrie et $r(B)=C$ , $r(C)=C'$ , d'où $CC'=r(B)r(C)=BC$ : le triangle $BCC'$ est isocèle en $C$ . De plus $r\big((BC)\big)=(CC')$ et l'angle de $r$ vaut $\dfrac{\pi}{2}$ , donc $(BC)\perp(CC')$ ; ces deux droites se coupent en $C$ . Conclusion : le triangle $BCC'$ est rectangle et isocèle en $C$ , et son hypoténuse $[BC']$ a pour milieu le point $A$ — qui est donc le centre de son cercle circonscrit. $\boxed{BCC'\text{ rectangle isocèle en }C}$

Entraînement 02 / 03

Drill S-F.2 — conservation des milieux

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $ABCD$ est un rectangle de centre $O$ . Soit $S$ la similitude directe de centre $O$ , de rapport $2$ et d'angle $\pi$ : c'est la composée de la rotation de centre $O$ d'angle $\pi$ (isométrie, déplacement, demi-tour) et de l'homothétie de centre $O$ de rapport $2$ . Soit $I$ le milieu de $[AB]$ .

Déterminer $S(A)$ et $S(B)$ (images par demi-tour puis homothétie de rapport $2$ ).
En utilisant qu'une similitude conserve les milieux, déterminer $S(I)$ .
En déduire que les points $I$ , $O$ et $S(I)$ sont alignés, et déterminer le réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{OS(I)}=\lambda\,\overrightarrow{OI}$ .

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1. *Idée : angle $\pi$ et rapport $2$ autour de $O$ .* La rotation de centre $O$ d'angle $\pi$ envoie $A$ sur le point diamétralement opposé, c'est-à-dire $C$ dans le rectangle $ABCD$ , puis l'homothétie de centre $O$ de rapport $2$ envoie $C$ sur le point $A'$ tel que $\overrightarrow{OA'}=2\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OA}$ . De même $S(B)$ vérifie $\overrightarrow{OS(B)}=-2\overrightarrow{OB}$ . Ainsi $S$ est la similitude directe de centre $O$ donnée par $\overrightarrow{OS(M)}=-2\overrightarrow{OM}$ .

2. Idée : « une similitude conserve les milieux ». I milieu de $[AB]$ $\Rightarrow$ $S(I)$ milieu de $[S(A)S(B)]$ . Avec $\overrightarrow{OS(A)}=-2\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OS(B)}=-2\overrightarrow{OB}$ , le milieu $S(I)$ vérifie $\overrightarrow{OS(I)}=-2\overrightarrow{OI}$ . $\boxed{\overrightarrow{OS(I)}=-2\overrightarrow{OI}}$ .

3. Idée : une égalité vectorielle de colinéarité donne l'alignement et le rapport. L'égalité $\overrightarrow{OS(I)}=-2\,\overrightarrow{OI}$ montre que $\overrightarrow{OS(I)}$ et $\overrightarrow{OI}$ sont colinéaires, donc que $I$ , $O$ et $S(I)$ sont alignés ; le coefficient étant négatif, $O$ est entre $I$ et $S(I)$ , et $OS(I)=2\,OI$ , ce qui prouve que $O$ appartient au segment $[I\,S(I)]$ et le partage dans le rapport $1:2$ . $\boxed{\lambda=-2}$

Entraînement 03 / 03

Drill S-F.3 — axe d'une similitude indirecte lu sur la figure

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $ABC$ est un triangle isocèle direct en $A$ avec $AB=AC$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{2}$ . Soit $I$ le milieu de $[BC]$ . Soit $g$ la similitude indirecte de centre $A$ telle que $g(B)=C$ .

Déterminer le rapport de la similitude indirecte $g$ . Justifier que $g$ est une isométrie indirecte, c'est-à-dire un antidéplacement.
Montrer que l'axe de $g$ est la droite $(AI)$ (bissectrice de $\widehat{BAC}$ , ensemble des points fixes de la réflexion associée).
Construire le point $g(I)$ et en déduire que $g$ est la réflexion d'axe $(AI)$ . On rappelle qu'une réflexion est un antidéplacement et une isométrie.

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1. Idée : le rapport se lit sur un couple de points. Comme $g(B)=C$ et $g(A)=A$ (centre), le rapport vaut $k=\dfrac{AC}{AB}=1$ . Une similitude indirecte de rapport $1$ est une isométrie indirecte, donc un antidéplacement. $\boxed{k=1}$ .

2. Idée : l'axe se lit sur la figure, pas sur un système d'affixes. Dans le triangle isocèle rectangle en $A$ , la droite $(AI)$ est la bissectrice de $\widehat{BAC}$ et la médiatrice de $[BC]$ . La réflexion $\sigma$ d'axe $(AI)$ échange $B$ et $C$ et fixe $A$ . Or $g$ est la similitude indirecte de centre $A$ de rapport $1$ envoyant $B$ sur $C$ : par unicité, $g=\sigma$ , ce qui prouve que l'axe de $g$ est la droite $(AI)$ , médiatrice de $[BC]$ : elle passe par le milieu $I$ de $[BC]$ . $\boxed{\text{axe }=(AI)}$ .

3. Idée : un point de l'axe est fixe. Comme $I\in(AI)$ , on a $g(I)=I$ . Construction : $I$ est déjà sur l'axe ; le point $g(I)$ coïncide avec $I$ . Cela confirme que $g$ est la réflexion d'axe $(AI)$ (antidéplacement, isométrie), et non une symétrie glissante.

Méthode / Automatismes

Image d'une droite par une similitude : la droite joignant les images de deux de ses points (ou pivotée autour du centre si la droite passe par le centre).
Image d'un cercle : centre $\mapsto$ image du centre, rayon multiplié par le rapport $k$ .
« Une similitude conserve les milieux » : $I$ milieu de $[XY]$ $\Rightarrow$ $S(I)$ milieu de $[S(X)S(Y)]$ .
Tangence : un point fixe du centre $H\in\Gamma$ reste sur $S(\Gamma)$ ; si l'angle est $\pm\dfrac{\pi}{2}$ , rayon et tangente s'échangent.
Construction : décomposer en rotation (déplacement, isométrie) puis homothétie de même centre.

Pièges classiques

Oublier de multiplier le rayon par $k$ . Chercher l'axe d'une similitude directe (elle n'en a pas : un seul point fixe). Résoudre un système d'affixes pour un axe alors que la figure donne la bissectrice ou la médiatrice. Confondre image de la droite $(AI)$ et image du segment $[AI]$ . Laisser le vocabulaire « droite / centre / rayon » dominer sans nommer la similitude, la rotation ou le déplacement : le chapitre bascule alors vers la géométrie de l'espace.

Où ce scénario est tombé

Bac 2024 — session principale (partiel)· Exercice 2 (isométries et similitudes)attestéCommutation h∘R = R∘h, similitude directe puis indirecte définies par images de points, et la configuration (triangle équilatéral, perpendicularité) déduite des composées.